Номер 350, страница 98 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

350. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2r. Найдите площадь сечения, проведённого через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

По условию, осевое сечение конуса — это правильный (равносторонний) треугольник, стороны которого равны $2r$. Сторонами этого треугольника являются две образующие конуса и диаметр его основания.

Это означает, что длина образующей конуса, которую мы обозначим как $L$, равна диаметру основания $D$. Таким образом, мы имеем: $L = D = 2r$.

Сечение, которое нам нужно найти, проведено через две образующие конуса. Это сечение представляет собой треугольник. Две его стороны — это образующие, каждая длиной $L = 2r$. Угол между этими образующими в вершине конуса обозначим как $\alpha$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае $a = L = 2r$, $b = L = 2r$, а угол $\gamma = \alpha$. Подставив эти значения в формулу, получим общую формулу для площади нашего сечения: $S = \frac{1}{2} \cdot L \cdot L \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot (2r)^2 \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 4r^2 \cdot \sin\alpha = 2r^2 \sin\alpha$.

Теперь мы можем вычислить площадь для каждого из заданных углов.

а) Если угол между образующими равен $30^{\circ}$, то $\alpha = 30^{\circ}$.
Подставляем значение в формулу: $S = 2r^2 \sin30^{\circ} = 2r^2 \cdot \frac{1}{2} = r^2$.
Ответ: $r^2$.

б) Если угол между образующими равен $45^{\circ}$, то $\alpha = 45^{\circ}$.
Подставляем значение в формулу: $S = 2r^2 \sin45^{\circ} = 2r^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r^2\sqrt{2}$.
Ответ: $r^2\sqrt{2}$.

в) Если угол между образующими равен $60^{\circ}$, то $\alpha = 60^{\circ}$.
Подставляем значение в формулу: $S = 2r^2 \sin60^{\circ} = 2r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r^2\sqrt{3}$.
(В этом случае сечение является равносторонним треугольником со стороной $2r$, и его площадь также можно найти по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4r^2\sqrt{3}}{4} = r^2\sqrt{3}$, что подтверждает наш расчет).
Ответ: $r^2\sqrt{3}$.