Номер 353, страница 98 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

353. Образующая конуса равна l, а радиус основания равен r. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°.

Сечение, проходящее через вершину конуса и хорду основания, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $l$, а его основание — хорде $c$ в основании конуса.

Площадь этого треугольника (сечения) $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} c h_s$, где $h_s$ — высота этого треугольника, проведенная к основанию $c$.

Длину хорды $c$, стягивающей дугу с центральным углом $\alpha$, можно найти по формуле $c = 2r \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $r$ - радиус основания конуса.

Высоту $h_s$ найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{c}{2})^2}$.

Найдем площадь сечения для хорды, стягивающей дугу в $60^\circ$. В этом случае центральный угол $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдем длину хорды $c$.$c = 2r \sin(\frac{60^\circ}{2}) = 2r \sin(30^\circ) = 2r \cdot \frac{1}{2} = r$.Длина хорды равна радиусу основания.

2. Найдем высоту треугольника сечения $h_s$:$h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{c}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{r}{2})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{4}} = \sqrt{\frac{4l^2 - r^2}{4}} = \frac{\sqrt{4l^2 - r^2}}{2}$.

3. Вычислим площадь сечения $S_a$:$S_a = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{\sqrt{4l^2 - r^2}}{2} = \frac{r\sqrt{4l^2 - r^2}}{4}$.

Ответ: $S_a = \frac{r\sqrt{4l^2 - r^2}}{4}$.

Найдем площадь сечения для хорды, стягивающей дугу в $90^\circ$. В этом случае центральный угол $\alpha = 90^\circ$.

1. Найдем длину хорды $c$.$c = 2r \sin(\frac{90^\circ}{2}) = 2r \sin(45^\circ) = 2r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$.

2. Найдем высоту треугольника сечения $h_s$:$h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{c}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{r\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{2r^2}{4}} = \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{2}} = \sqrt{\frac{2l^2 - r^2}{2}}$.

3. Вычислим площадь сечения $S_b$:$S_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot r\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2l^2 - r^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot r\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2l^2 - r^2}}{\sqrt{2}} = \frac{r\sqrt{2l^2 - r^2}}{2}$.

Ответ: $S_b = \frac{r\sqrt{2l^2 - r^2}}{2}$.