Номер 359, страница 99 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

359. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.

Для решения задачи найдем общую формулу, связывающую угол развертки боковой поверхности конуса и угол при вершине его осевого сечения.

Пусть $l$ — образующая конуса, $r$ — радиус его основания, $\alpha$ — искомый угол при вершине осевого сечения, а $\beta$ — угол дуги сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса.

При развертывании боковой поверхности конуса в сектор, радиус этого сектора будет равен образующей конуса $l$. Длина дуги этого сектора $L_{дуги}$ вычисляется по формуле: $L_{дуги} = \frac{\beta}{360^{\circ}} \cdot 2\pi l$.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C_{осн}$, которая вычисляется по формуле: $C_{осн} = 2\pi r$.

Приравнивая эти два выражения, получаем: $2\pi r = \frac{\beta}{360^{\circ}} \cdot 2\pi l$.

Отсюда находим отношение радиуса основания к образующей: $\frac{r}{l} = \frac{\beta}{360^{\circ}}$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание равно диаметру основания конуса $2r$. Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. В этом треугольнике гипотенуза равна $l$, катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $r$. Синус этого угла равен: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{l}$.

Объединяя полученные равенства, мы получаем общую формулу для решения задачи: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\beta}{360^{\circ}}$.

Теперь решим задачу для каждого из заданных случаев.

Угол дуги сектора $\beta = 180^{\circ}$. Подставим это значение в нашу формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2}$.

Из этого следует, что $\frac{\alpha}{2} = 30^{\circ}$, так как угол $\frac{\alpha}{2}$ в прямоугольном треугольнике является острым.

Тогда искомый угол $\alpha = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.

Угол дуги сектора $\beta = 90^{\circ}$. Подставим это значение в формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $\frac{\alpha}{2} = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Тогда искомый угол $\alpha = 2\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Ответ: $2\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Угол дуги сектора $\beta = 60^{\circ}$. Подставим это значение в формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$.

Отсюда $\frac{\alpha}{2} = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.

Тогда искомый угол $\alpha = 2\arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.

Ответ: $2\arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.