Номер 363, страница 99 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

363. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом φ. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен α. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L)$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить $R$ и $L$ через известные величины.

1. Начнем с нахождения радиуса основания конуса $R$. В основании конуса лежит круг, который является описанной окружностью для вписанного в него треугольника. По условию, у треугольника есть сторона, равная $a$, и противолежащий ей угол, равный $\alpha$. Согласно обобщенной теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$):$$ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R $$Из этого соотношения выражаем радиус основания конуса:$$ R = \frac{a}{2 \sin\alpha} $$

2. Далее найдем длину образующей конуса $L$. Образующая конуса $L$ наклонена к плоскости основания под углом $\phi$. Этот угол является углом между образующей $L$ и радиусом основания $R$ в прямоугольном треугольнике, который образован высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой, а $R$ — прилежащим катетом к углу $\phi$. Таким образом, мы можем записать тригонометрическое соотношение:$$ \cos\phi = \frac{R}{L} $$Отсюда выразим образующую $L$:$$ L = \frac{R}{\cos\phi} $$Подставив найденное ранее выражение для $R$, получаем:$$ L = \frac{a}{2 \sin\alpha \cos\phi} $$

3. Теперь, имея выражения для $R$ и $L$, подставим их в формулу площади полной поверхности конуса:$$ S_{полн} = \pi R (R + L) $$Подставим выражение для $L$ через $R$:$$ S_{полн} = \pi R \left(R + \frac{R}{\cos\phi}\right) = \pi R^2 \left(1 + \frac{1}{\cos\phi}\right) = \pi R^2 \frac{1 + \cos\phi}{\cos\phi} $$Теперь подставим известное выражение для $R^2$. Так как $R = \frac{a}{2 \sin\alpha}$, то $R^2 = \frac{a^2}{4 \sin^2\alpha}$.$$ S_{полн} = \pi \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2\alpha} \cdot \frac{1 + \cos\phi}{\cos\phi} $$После перегруппировки членов получаем окончательную формулу.

Ответ: $S_{полн} = \frac{\pi a^2 (1 + \cos\phi)}{4 \sin^2\alpha \cos\phi}$