Номер 370, страница 100 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Конус. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 370, страница 100.

Условие.

370. Дана трапеция ABCD, в которой ∠A = 90°, ∠D = 45°, BC = 4 см, CD = 32 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны AB.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

При вращении прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны AB, которая является ее высотой (так как $\angle A = 90^\circ$), образуется усеченный конус.

Параметры этого усеченного конуса определяются сторонами трапеции:

• Радиус верхнего, меньшего основания конуса, $r$, равен длине верхнего основания трапеции BC, то есть $r = 4$ см.
• Образующая конуса, $l$, равна длине боковой стороны CD, то есть $l = 3\sqrt{2}$ см.
• Высота конуса, $h$, равна высоте трапеции AB.
• Радиус нижнего, большего основания конуса, $R$, равен длине нижнего основания трапеции AD.

Для вычисления площадей нам необходимо найти радиус нижнего основания $R=AD$ и высоту конуса $h=AB$.

Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Так как трапеция ABCD прямоугольная с $\angle A = 90^\circ$, то AB перпендикулярна AD. Следовательно, фигура ABCH является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AB$ и $AH = BC = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. В нем гипотенуза $CD = 3\sqrt{2}$ см и прилежащий к ней угол $\angle D = 45^\circ$.

Найдем катеты CH и HD. Так как $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.
$HD = CD \cdot \cos(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые параметры усеченного конуса:

• Высота конуса: $h = AB = CH = 3$ см.
• Радиус нижнего основания: $R = AD = AH + HD = 4 + 3 = 7$ см.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$

Подставим известные значения: $S_{бок} = \pi (7 + 4) \cdot 3\sqrt{2} = \pi \cdot 11 \cdot 3\sqrt{2} = 33\sqrt{2}\pi$ см².

Ответ: $33\sqrt{2}\pi$ см².

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего): $S_{полн} = S_{бок} + S_{верхн} + S_{нижн}$

Площадь верхнего основания (круга с радиусом $r=4$ см): $S_{верхн} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

Площадь нижнего основания (круга с радиусом $R=7$ см): $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi \cdot 7^2 = 49\pi$ см².

Теперь найдем полную площадь: $S_{полн} = 33\sqrt{2}\pi + 16\pi + 49\pi = (33\sqrt{2} + 65)\pi$ см².

Ответ: $(65 + 33\sqrt{2})\pi$ см².