Номер 371, страница 100 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

371. Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких вёдер, если на 1 м² требуется 150 г краски? (Толщину стенок вёдер в расчёт не принимать.)

Для решения задачи необходимо найти общую площадь поверхности, которую нужно покрасить, а затем, зная расход краски, вычислить её массу.

Ведро имеет форму усечённого конуса, и его нужно покрасить с обеих сторон. Поверхность для покраски состоит из боковой поверхности и одного основания (дна). Поскольку по условию толщиной стенок ведра можно пренебречь, площади его внешней и внутренней поверхностей равны.

Сначала найдём площадь поверхности одного ведра.Исходные данные: радиус большего основания $R = 15$ см, радиус меньшего основания (дна) $r = 10$ см, и образующая $l = 30$ см.Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R + r)l = \pi(15 + 10) \cdot 30 = \pi \cdot 25 \cdot 30 = 750\pi \text{ см}^2$.Площадь дна ведра, которое является кругом с радиусом $r = 10$ см:$S_{дно} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \text{ см}^2$.Таким образом, площадь одной стороны ведра (внешней или внутренней) составляет:$S_{одна\_сторона} = S_{бок} + S_{дно} = 750\pi + 100\pi = 850\pi \text{ см}^2$.Полная площадь покраски одного ведра с обеих сторон:$S_{ведро} = 2 \cdot S_{одна\_сторона} = 2 \cdot 850\pi = 1700\pi \text{ см}^2$.

Далее найдём общую площадь для 100 вёдер.$S_{всего} = 100 \cdot S_{ведро} = 100 \cdot 1700\pi = 170000\pi \text{ см}^2$.

Теперь рассчитаем необходимое количество краски.Расход краски дан на 1 м?, поэтому переведём общую площадь в квадратные метры. Учитывая, что $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$:$S_{всего}(\text{м}^2) = \frac{170000\pi}{10000} = 17\pi \text{ м}^2$.Расход краски составляет 150 г на 1 м?. Необходимая масса краски в граммах:$m_{г} = S_{всего}(\text{м}^2) \cdot 150 = 17\pi \cdot 150 = 2550\pi \text{ г}$.Переведём массу в килограммы (в 1 кг содержится 1000 г):$m_{кг} = \frac{2550\pi}{1000} = 2,55\pi \text{ кг}$.

Для получения численного ответа, используем приближённое значение $\pi \approx 3,14$:$m_{кг} \approx 2,55 \cdot 3,14 = 8,007 \text{ кг}$.Округлив результат до сотых, получаем 8,01 кг.

Ответ: необходимо взять $2,55\pi$ кг краски, что составляет приблизительно 8,01 кг.