Номер 376, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

376. Вершины треугольника ABC лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. По условию задачи, $R = 13$ см. Вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ лежат на сфере, следовательно, плоскость треугольника $ABC$ пересекает сферу по окружности. Эта окружность является описанной около треугольника $ABC$.

Пусть $O'$ — центр этой описанной окружности, а $r$ — ее радиус. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости треугольника $ABC$ — это длина перпендикуляра $OO'$, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим это искомое расстояние как $d$.

Рассмотрим треугольник $AOO'$. Он является прямоугольным, так как $OO' \perp$ плоскости $ABC$. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу сферы $R$, один катет $OO'$ равен расстоянию $d$, а другой катет $O'A$ равен радиусу описанной окружности $r$. По теореме Пифагора имеем соотношение: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для того чтобы найти $d$, необходимо сначала вычислить радиус описанной окружности $r$. Для этого определим вид треугольника $ABC$ по длинам его сторон: $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $AC = 10$ см.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема, обратная теореме Пифагора:

$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC^2 = 10^2 = 100$

Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ и гипотенузой $AC$.

Известно, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы. Следовательно, радиус $r$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы $AC$.

$r = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь, зная радиус сферы $R = 13$ см и радиус описанной окружности $r = 5$ см, мы можем найти искомое расстояние $d$ из формулы $R^2 = d^2 + r^2$:

$13^2 = d^2 + 5^2$

$169 = d^2 + 25$

$d^2 = 169 - 25$

$d^2 = 144$

$d = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.