Номер 383, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

383. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

а) Обозначим центр сферы за O, а ее радиус за R. Пусть OA - это радиус, который секущая плоскость делит пополам в точке M. Таким образом, точка M является серединой отрезка OA, и расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно $OM = \frac{R}{2}$.

Сечение сферы плоскостью представляет собой круг. Обозначим радиус этого круга как r. Центром этого круга является точка M.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMP, где P - любая точка на окружности сечения. В этом треугольнике:

• OP - гипотенуза, которая является радиусом сферы, то есть $OP = R$.
• OM - катет, равный расстоянию от центра сферы до плоскости сечения, то есть $OM = \frac{R}{2}$.
• MP - катет, который является искомым радиусом сечения, то есть $MP = r$.

По теореме Пифагора, $OP^2 = OM^2 + MP^2$, или $R^2 = (\frac{R}{2})^2 + r^2$.

Выразим $r^2$:

$r^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$.

Отсюда находим радиус сечения r:

$r = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

б) Найдем площадь боковой поверхности конуса. По условию, вершиной этого конуса является центр сферы O, а основанием — полученное в пункте а) сечение.

Параметры конуса:

• Радиус основания конуса (r) — это радиус сечения, который мы нашли: $r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.
• Образующая конуса (l) — это расстояние от вершины конуса (центра сферы O) до любой точки на окружности основания. Это расстояние равно радиусу сферы R. Следовательно, $l = R$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Подставим в формулу найденные значения r и l:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} \cdot R = \frac{\pi R^2 \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi R^2 \sqrt{3}}{2}$.