Номер 384, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

384. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен α. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: a) R = 2 см, α = 30°; б) R = 5 м, α = 45°.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Секущая плоскость $\beta$ пересекает сферу, образуя в сечении окружность. Пусть радиус этой окружности равен $r$. Длина этой окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Чтобы найти $L$, нам нужно определить $r$.

По условию, плоскость $\beta$ проходит через конец диаметра, назовем его точкой $A$. Угол между этим диаметром и плоскостью $\beta$ равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы $O$, точкой $A$ на сфере (и в плоскости $\beta$), и центром окружности сечения $C$. Точка $C$ является проекцией точки $O$ на плоскость $\beta$, поэтому отрезок $OC$ перпендикулярен плоскости $\beta$, и треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике:
- $OA$ — гипотенуза, являющаяся радиусом сферы $R$.
- $AC$ — катет, являющийся радиусом $r$ окружности сечения.
- $OC$ — катет, равный расстоянию от центра сферы до плоскости сечения.

Угол между прямой (в нашем случае, диаметром) и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Радиус $OA$ лежит на диаметре. Проекцией радиуса $OA$ на плоскость $\beta$ является отрезок $AC$. Следовательно, угол между радиусом $OA$ и его проекцией $AC$ равен заданному углу $\alpha$. Таким образом, $\angle OAC = \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OAC$ имеем соотношение:
$\cos(\angle OAC) = \frac{AC}{OA}$
$\cos(\alpha) = \frac{r}{R}$

Отсюда выражаем радиус сечения $r$:
$r = R \cos(\alpha)$

Теперь можем найти длину окружности сечения:
$L = 2\pi r = 2\pi R \cos(\alpha)$

Подставим в эту формулу числовые значения для каждого случая.

При $R = 2$ см и $\alpha = 30^\circ$:
$L = 2\pi \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 4\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\pi\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\pi\sqrt{3}$ см.

При $R = 5$ м и $\alpha = 45^\circ$:
$L = 2\pi \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ) = 10\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\pi\sqrt{2}$ м.
Ответ: $5\pi\sqrt{2}$ м.