Номер 381, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

381. Отрезок ОН — высота тетраэдра ОABC. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости ABC, если:

а) R = 6 дм, OH = 60 см;

б) R = 3 м, OH = 95 см;

в) R = 5 дм, OH = 45 см;

г) R = 3,5 дм, OH = 40 см.

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо сравнить радиус сферы $R$ с расстоянием от её центра $O$ до плоскости $ABC$. По условию, отрезок $OH$ является высотой тетраэдра $OABC$, опущенной из вершины $O$ на основание $ABC$. Это означает, что $OH$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и его длина является расстоянием от центра сферы $O$ до плоскости $ABC$. Обозначим это расстояние как $d$, то есть $d = OH$.

Возможны три варианта их взаимного расположения. Если расстояние от центра до плоскости меньше радиуса ($d < R$), то сфера и плоскость пересекаются по окружности. Если расстояние от центра до плоскости равно радиусу ($d = R$), то сфера и плоскость имеют одну общую точку, то есть касаются. Если же расстояние от центра до плоскости больше радиуса ($d > R$), то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Для решения каждого подпункта приведем все единицы измерения к сантиметрам (в 1 дм — 10 см, в 1 м — 100 см) и сравним $d$ и $R$.

а) Дано: $R = 6$ дм, $OH = 60$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 6 \text{ дм} = 6 \times 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 60$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 60$ см и $R = 60$ см. Поскольку $d = R$, плоскость и сфера касаются.
Ответ: сфера и плоскость касаются.

б) Дано: $R = 3$ м, $OH = 95$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 95$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 95$ см и $R = 300$ см. Поскольку $d < R$ ($95 < 300$), плоскость пересекает сферу.
Ответ: сфера и плоскость пересекаются.

в) Дано: $R = 5$ дм, $OH = 45$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 5 \text{ дм} = 5 \times 10 \text{ см} = 50 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 45$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 45$ см и $R = 50$ см. Поскольку $d < R$ ($45 < 50$), плоскость пересекает сферу.
Ответ: сфера и плоскость пересекаются.

г) Дано: $R = 3,5$ дм, $OH = 40$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 3,5 \text{ дм} = 3,5 \times 10 \text{ см} = 35 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 40$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 40$ см и $R = 35$ см. Поскольку $d > R$ ($40 > 35$), плоскость и сфера не имеют общих точек.
Ответ: сфера и плоскость не имеют общих точек.