Страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

372. Точки А и В лежат на сфере с центром О ∉ AB, а точка М лежит на отрезке AB. Докажите, что: а) если М — середина отрезка AB, то OM ⊥ AB; б) если ОМ ⊥ AB, то М — середина отрезка AB.

а) Рассмотрим треугольник $OAB$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на сфере с центром в точке $O$, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой сферы. Следовательно, их длины равны: $OA = OB$.

Таким образом, треугольник $OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$. По условию, точка $M$ — середина отрезка $AB$, значит, отрезок $OM$ является медианой этого треугольника, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OM \perp AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Снова рассмотрим треугольник $OAB$. Как было установлено в пункте а), он является равнобедренным с основанием $AB$, так как стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы сферы ($OA = OB$).

По условию этого пункта, $OM \perp AB$. Это означает, что отрезок $OM$ является высотой треугольника $OAB$, опущенной на основание $AB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. Так как $OM$ является медианой, она делит основание $AB$ пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

373. Точка М — середина отрезка AB, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, AB = 40 см; б) ОМ, если R = 15 мм, AB = 18 мм; в) AB, если R = 10 дм, ОМ = 60 см; г) AM, если R = a, ОМ = b.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на сфере с центром $O$, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами сферы. Следовательно, $OA = OB = R$, и треугольник $OAB$ — равнобедренный с основанием $AB$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$, значит, $OM$ — медиана треугольника $OAB$, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Таким образом, $OM \perp AB$, и треугольник $OMA$ — прямоугольный с гипотенузой $OA=R$ и катетами $OM$ и $AM$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OMA$ имеем: $OA^2 = OM^2 + AM^2$. Так как $M$ — середина $AB$, то $AM = \frac{AB}{2}$. Основная формула для решения задачи: $R^2 = OM^2 + AM^2$.

а) Дано: $R = 50 \text{ см}$, $AB = 40 \text{ см}$.
Найдем половину длины отрезка $AB$: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}$.
Подставим известные значения в теорему Пифагора для треугольника $OMA$: $R^2 = OM^2 + AM^2$.
$50^2 = OM^2 + 20^2$
$2500 = OM^2 + 400$
$OM^2 = 2500 - 400 = 2100$
$OM = \sqrt{2100} = \sqrt{100 \cdot 21} = 10\sqrt{21} \text{ см}$.
Ответ: $10\sqrt{21}$ см.

б) Дано: $R = 15 \text{ мм}$, $AB = 18 \text{ мм}$.
Найдем половину длины отрезка $AB$: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ мм}$.
Подставим известные значения в формулу $R^2 = OM^2 + AM^2$:
$15^2 = OM^2 + 9^2$
$225 = OM^2 + 81$
$OM^2 = 225 - 81 = 144$
$OM = \sqrt{144} = 12 \text{ мм}$.
Ответ: 12 мм.

в) Дано: $R = 10 \text{ дм}$, $OM = 60 \text{ см}$.
Сначала приведем все величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.
$R = 10 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}$.
Теперь используем формулу $R^2 = OM^2 + AM^2$ для нахождения $AM$:
$100^2 = 60^2 + AM^2$
$10000 = 3600 + AM^2$
$AM^2 = 10000 - 3600 = 6400$
$AM = \sqrt{6400} = 80 \text{ см}$.
Так как $M$ — середина $AB$, то $AB = 2 \cdot AM$.
$AB = 2 \cdot 80 = 160 \text{ см}$. Можно также выразить ответ в дециметрах: $160 \text{ см} = 16 \text{ дм}$.
Ответ: 160 см (или 16 дм).

г) Дано: $R = a$, $OM = b$.
Используем общую формулу, выведенную из теоремы Пифагора для треугольника $OMA$: $R^2 = OM^2 + AM^2$.
Подставим данные значения:
$a^2 = b^2 + AM^2$
Выразим $AM^2$ из этого уравнения:
$AM^2 = a^2 - b^2$
Тогда $AM$ равно квадратному корню из этого выражения:
$AM = \sqrt{a^2 - b^2}$.
Это выражение имеет смысл, только если $a^2 - b^2 \ge 0$, то есть $a \ge b$, что соответствует геометрическому смыслу задачи (расстояние от центра до хорды не может быть больше радиуса).
Ответ: $\sqrt{a^2 - b^2}$.

374. Точки А и В лежат на сфере радиуса R. Найдите расстояние от центра сферы до прямой AB, если AB = m.

Пусть O — центр сферы, а R — ее радиус. Точки A и B лежат на сфере, следовательно, расстояния от центра сферы до этих точек равны радиусу: $OA = OB = R$.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как $OA = OB = R$, этот треугольник является равнобедренным с основанием AB.

Расстояние от центра сферы O до прямой AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AB. Обозначим этот перпендикуляр OH, где H — точка на прямой AB. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка OH.

В равнобедренном треугольнике AOB высота OH, проведенная к основанию AB, является также и медианой. Это означает, что точка H делит основание AB пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2}$.

По условию задачи, $AB = m$, следовательно, $AH = \frac{m}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OHA ($\angle OHA = 90^\circ$). Его гипотенуза $OA$ равна радиусу сферы R, а катет $AH$ равен $\frac{m}{2}$. Второй катет $OH$ — это искомое расстояние.

По теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + AH^2$.

Подставим известные значения и выразим OH:

$R^2 = OH^2 + \left(\frac{m}{2}\right)^2$

$OH^2 = R^2 - \frac{m^2}{4}$

$OH^2 = \frac{4R^2 - m^2}{4}$

$OH = \sqrt{\frac{4R^2 - m^2}{4}} = \frac{\sqrt{4R^2 - m^2}}{2}$

Данное выражение имеет смысл при $4R^2 - m^2 \ge 0$, то есть $m \le 2R$, что соответствует геометрическому смыслу, так как длина хорды не может превышать диаметр сферы.

Ответ: $\frac{\sqrt{4R^2 - m^2}}{2}$

375. Шар радиуса 41 дм пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра шара. Найдите площадь сечения.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Для нахождения площади этого сечения необходимо сначала определить его радиус.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, расстоянием от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиусом сечения $r$. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а расстояние $d$ и радиус сечения $r$ — катетами.

По условию задачи нам даны:
Радиус шара $R = 41$ дм.
Расстояние от центра шара до плоскости $d = 9$ дм.

По теореме Пифагора, связь между сторонами этого треугольника выражается формулой:
$R^2 = d^2 + r^2$

Мы можем найти квадрат радиуса сечения $r^2$:
$r^2 = R^2 - d^2$

Подставим числовые значения:
$r^2 = 41^2 - 9^2$
$r^2 = 1681 - 81$
$r^2 = 1600$ дм$^2$

Площадь сечения $S$, которое является кругом, вычисляется по формуле:
$S = \pi r^2$

Подставив найденное значение $r^2$, получим:
$S = \pi \cdot 1600 = 1600\pi$ дм$^2$

Ответ: $1600\pi$ дм$^2$.

376. Вершины треугольника ABC лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. По условию задачи, $R = 13$ см. Вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ лежат на сфере, следовательно, плоскость треугольника $ABC$ пересекает сферу по окружности. Эта окружность является описанной около треугольника $ABC$.

Пусть $O'$ — центр этой описанной окружности, а $r$ — ее радиус. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости треугольника $ABC$ — это длина перпендикуляра $OO'$, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим это искомое расстояние как $d$.

Рассмотрим треугольник $AOO'$. Он является прямоугольным, так как $OO' \perp$ плоскости $ABC$. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу сферы $R$, один катет $OO'$ равен расстоянию $d$, а другой катет $O'A$ равен радиусу описанной окружности $r$. По теореме Пифагора имеем соотношение: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для того чтобы найти $d$, необходимо сначала вычислить радиус описанной окружности $r$. Для этого определим вид треугольника $ABC$ по длинам его сторон: $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $AC = 10$ см.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема, обратная теореме Пифагора:

$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC^2 = 10^2 = 100$

Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ и гипотенузой $AC$.

Известно, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы. Следовательно, радиус $r$ описанной окружности равен половине длины гипотенузы $AC$.

$r = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь, зная радиус сферы $R = 13$ см и радиус описанной окружности $r = 5$ см, мы можем найти искомое расстояние $d$ из формулы $R^2 = d^2 + r^2$:

$13^2 = d^2 + 5^2$

$169 = d^2 + 25$

$d^2 = 169 - 25$

$d^2 = 144$

$d = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

377. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

Обозначим центр сферы как O, а ее радиус как R. Согласно условию задачи, $R = 10$ см. Так как все вершины прямоугольника лежат на сфере, то плоскость, в которой лежит прямоугольник, пересекает сферу по окружности. Эта окружность является описанной для данного прямоугольника.

Центром окружности, описанной около прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как P. Расстояние от центра сферы O до плоскости прямоугольника — это длина перпендикуляра OP, который мы обозначим как $h$.

Рассмотрим треугольник, образованный центром сферы O, центром прямоугольника P и одной из вершин прямоугольника (например, A). Этот треугольник OPA является прямоугольным, где $\angle OPA = 90^\circ$. Катетами этого треугольника являются искомое расстояние $h = OP$ и радиус описанной окружности $r = PA$. Гипотенузой является радиус сферы $R = OA$.

Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:$R^2 = h^2 + r^2$

Радиус $r$ окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали. По условию, диагональ прямоугольника равна 16 см. Следовательно, радиус описанной окружности равен:$r = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $h$. Выразим $h^2$ из формулы Пифагора и подставим известные значения:$h^2 = R^2 - r^2$$h^2 = 10^2 - 8^2$$h^2 = 100 - 64$$h^2 = 36$$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

378. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Пусть $O$ - центр сферы, $R$ - ее радиус, а $\alpha$ - плоскость, в которой лежит треугольник. По условию, радиус сферы $R = 5$ см. Стороны треугольника равны $a = 10$ см, $b = 10$ см и $c = 12$ см.

Искомое расстояние от центра сферы до плоскости треугольника - это длина перпендикуляра $d$, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$. Пусть $O'$ - основание этого перпендикуляра.

Так как все стороны треугольника касаются сферы, то проекция центра сферы на плоскость треугольника (точка $O'$) является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Радиус этой вписанной окружности, обозначим его $r$, связан с радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$ Отсюда мы можем выразить искомое расстояние: $d = \sqrt{R^2 - r^2}$

Чтобы найти $d$, нам необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$.

1. Вычисление радиуса вписанной окружности ($r$).

Радиус окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

а) Найдем полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

б) Найдем площадь треугольника $S$:
Данный треугольник является равнобедренным. Проведем высоту $h$ к его основанию ($c=12$ см). Эта высота разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой 10 см и одним из катетов, равным половине основания, то есть $\frac{12}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

в) Вычислим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

2. Вычисление расстояния от центра сферы до плоскости треугольника ($d$).

Теперь, зная радиус сферы $R = 5$ см и радиус вписанной окружности $r = 3$ см, мы можем найти искомое расстояние $d$: $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

379. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см.

Пусть O — центр сферы, R — ее радиус ($R = 5$ см), а плоскость треугольника ABC обозначим как $\alpha$. Искомое расстояние от центра сферы до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $d$, опущенного из точки O на плоскость $\alpha$. Пусть O' — основание этого перпендикуляра, тогда $d = OO'$.

Поскольку все стороны треугольника $ABC$ касаются сферы, то точки касания лежат на сфере. Пусть $K$, $L$, $M$ — точки касания сферы со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Отрезки $OK$, $OL$, $OM$ являются радиусами сферы, проведенными в точки касания, и их длина равна $R = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OO'K$, $\triangle OO'L$ и $\triangle OO'M$. У них общий катет $OO' = d$. Гипотенузы этих треугольников равны радиусу сферы: $OK = OL = OM = R = 5$ см. По теореме Пифагора для этих треугольников: $O'K^2 = OK^2 - OO'^2 = R^2 - d^2$ $O'L^2 = OL^2 - OO'^2 = R^2 - d^2$ $O'M^2 = OM^2 - OO'^2 = R^2 - d^2$

Из этих равенств следует, что $O'K = O'L = O'M$. Точка O' в плоскости треугольника равноудалена от его сторон. Это означает, что O' является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояние от O' до сторон треугольника ($O'K$, $O'L$, $O'M$) является радиусом этой вписанной окружности, который мы обозначим как $r$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это радиус сферы $R$, один катет — это искомое расстояние $d$, а другой катет — это радиус вписанной в треугольник окружности $r$. Их связывает соотношение: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для нахождения $d$ нам необходимо сначала вычислить $r$. Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Стороны треугольника равны $a = 14$ см, $b = 15$ см, $c = 13$ см. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 84$ см?.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см.

Наконец, находим искомое расстояние $d$ из формулы $d^2 = R^2 - r^2$: $d^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ $d = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

380. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - ее радиус. По условию, $R = 10$ см. Пусть искомое расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $h$. Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость ромба. Обозначим основание этого перпендикуляра (его проекцию на плоскость ромба) как $O'$.

Поскольку все стороны ромба касаются сферы, то расстояния от точки $O'$ до всех сторон ромба одинаковы. Это означает, что точка $O'$ является центром окружности, вписанной в ромб, а расстояние от $O'$ до любой стороны ромба является радиусом этой вписанной окружности. Обозначим этот радиус как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются искомое расстояние $h$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$, а гипотенузой — радиус сферы $R$, проведенный в точку касания. По теореме Пифагора, эти величины связаны соотношением:

$R^2 = h^2 + r^2$

Чтобы найти $h$, нам нужно сначала вычислить радиус $r$ вписанной в ромб окружности.

Найдем характеристики ромба. Нам даны его диагонали: $d_1 = 15$ см и $d_2 = 20$ см.

1. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2} = 7.5$ см и $\frac{d_2}{2} = 10$ см), а гипотенуза является стороной ромба $a$. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{7.5^2 + 10^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$. Площадь ромба $S$ можно найти двумя способами. Через диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

Через сторону и радиус вписанной окружности. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, $h_{ромба} = 2r$. Площадь также равна $S = a \cdot h_{ромба} = a \cdot 2r$. Отсюда выразим $r$:

$r = \frac{S}{2a} = \frac{150}{2 \cdot 12.5} = \frac{150}{25} = 6$ см.

3. Найдем искомое расстояние $h$. Теперь, зная радиус сферы $R = 10$ см и радиус вписанной в ромб окружности $r = 6$ см, мы можем найти расстояние $h$ от центра сферы до плоскости ромба:

$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

381. Отрезок ОН — высота тетраэдра ОABC. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости ABC, если:

а) R = 6 дм, OH = 60 см;

б) R = 3 м, OH = 95 см;

в) R = 5 дм, OH = 45 см;

г) R = 3,5 дм, OH = 40 см.

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо сравнить радиус сферы $R$ с расстоянием от её центра $O$ до плоскости $ABC$. По условию, отрезок $OH$ является высотой тетраэдра $OABC$, опущенной из вершины $O$ на основание $ABC$. Это означает, что $OH$ перпендикулярен плоскости $ABC$, и его длина является расстоянием от центра сферы $O$ до плоскости $ABC$. Обозначим это расстояние как $d$, то есть $d = OH$.

Возможны три варианта их взаимного расположения. Если расстояние от центра до плоскости меньше радиуса ($d < R$), то сфера и плоскость пересекаются по окружности. Если расстояние от центра до плоскости равно радиусу ($d = R$), то сфера и плоскость имеют одну общую точку, то есть касаются. Если же расстояние от центра до плоскости больше радиуса ($d > R$), то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Для решения каждого подпункта приведем все единицы измерения к сантиметрам (в 1 дм — 10 см, в 1 м — 100 см) и сравним $d$ и $R$.

а) Дано: $R = 6$ дм, $OH = 60$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 6 \text{ дм} = 6 \times 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 60$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 60$ см и $R = 60$ см. Поскольку $d = R$, плоскость и сфера касаются.
Ответ: сфера и плоскость касаются.

б) Дано: $R = 3$ м, $OH = 95$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 95$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 95$ см и $R = 300$ см. Поскольку $d < R$ ($95 < 300$), плоскость пересекает сферу.
Ответ: сфера и плоскость пересекаются.

в) Дано: $R = 5$ дм, $OH = 45$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 5 \text{ дм} = 5 \times 10 \text{ см} = 50 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 45$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 45$ см и $R = 50$ см. Поскольку $d < R$ ($45 < 50$), плоскость пересекает сферу.
Ответ: сфера и плоскость пересекаются.

г) Дано: $R = 3,5$ дм, $OH = 40$ см.
Переведем радиус в сантиметры: $R = 3,5 \text{ дм} = 3,5 \times 10 \text{ см} = 35 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 40$ см.
Сравниваем $d$ и $R$: $d = 40$ см и $R = 35$ см. Поскольку $d > R$ ($40 > 35$), плоскость и сфера не имеют общих точек.
Ответ: сфера и плоскость не имеют общих точек.

382. Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите: а) площадь S сечения, если R = 12 см, d = 8 см; б) R, если площадь сечения равна 12 см², d = 2 см.

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга r, радиус шара R и расстояние от центра шара до секущей плоскости d связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном этими тремя отрезками, радиус шара R является гипотенузой, а расстояние d и радиус сечения r — катетами.

Следовательно, выполняется равенство: $R^2 = d^2 + r^2$.

Площадь сечения S, являющегося кругом, вычисляется по формуле: $S = \pi r^2$.

Из этих формул мы можем выразить $r^2 = R^2 - d^2$ и подставить в формулу площади: $S = \pi (R^2 - d^2)$.

а)

Дано: радиус шара $R = 12$ см, расстояние от центра до плоскости $d = 8$ см. Требуется найти площадь сечения $S$.

Сначала найдем квадрат радиуса сечения $r^2$, используя теорему Пифагора: $r^2 = R^2 - d^2$

Подставим числовые значения: $r^2 = 12^2 - 8^2 = 144 - 64 = 80$ (см?)

Теперь вычислим площадь сечения $S$: $S = \pi r^2 = \pi \cdot 80 = 80\pi$ (см?)

Ответ: $80\pi$ см?.

б)

Дано: площадь сечения $S = 12$ см?, расстояние от центра до плоскости $d = 2$ см. Требуется найти радиус шара $R$.

Сначала найдем квадрат радиуса сечения $r^2$ из формулы для площади круга: $S = \pi r^2$

Подставим известное значение площади: $12 = \pi r^2$

Отсюда выразим $r^2$: $r^2 = \frac{12}{\pi}$ (см?)

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем квадрат радиуса шара $R^2$: $R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения: $R^2 = 2^2 + \frac{12}{\pi} = 4 + \frac{12}{\pi}$

Тогда радиус шара $R$ равен: $R = \sqrt{4 + \frac{12}{\pi}}$ (см)

Ответ: $\sqrt{4 + \frac{12}{\pi}}$ см.

383. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

а) Обозначим центр сферы за O, а ее радиус за R. Пусть OA - это радиус, который секущая плоскость делит пополам в точке M. Таким образом, точка M является серединой отрезка OA, и расстояние от центра сферы до секущей плоскости равно $OM = \frac{R}{2}$.

Сечение сферы плоскостью представляет собой круг. Обозначим радиус этого круга как r. Центром этого круга является точка M.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMP, где P - любая точка на окружности сечения. В этом треугольнике:

• OP - гипотенуза, которая является радиусом сферы, то есть $OP = R$.
• OM - катет, равный расстоянию от центра сферы до плоскости сечения, то есть $OM = \frac{R}{2}$.
• MP - катет, который является искомым радиусом сечения, то есть $MP = r$.

По теореме Пифагора, $OP^2 = OM^2 + MP^2$, или $R^2 = (\frac{R}{2})^2 + r^2$.

Выразим $r^2$:

$r^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$.

Отсюда находим радиус сечения r:

$r = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

б) Найдем площадь боковой поверхности конуса. По условию, вершиной этого конуса является центр сферы O, а основанием — полученное в пункте а) сечение.

Параметры конуса:

• Радиус основания конуса (r) — это радиус сечения, который мы нашли: $r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.
• Образующая конуса (l) — это расстояние от вершины конуса (центра сферы O) до любой точки на окружности основания. Это расстояние равно радиусу сферы R. Следовательно, $l = R$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Подставим в формулу найденные значения r и l:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} \cdot R = \frac{\pi R^2 \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi R^2 \sqrt{3}}{2}$.

384. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен α. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: a) R = 2 см, α = 30°; б) R = 5 м, α = 45°.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Секущая плоскость $\beta$ пересекает сферу, образуя в сечении окружность. Пусть радиус этой окружности равен $r$. Длина этой окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. Чтобы найти $L$, нам нужно определить $r$.

По условию, плоскость $\beta$ проходит через конец диаметра, назовем его точкой $A$. Угол между этим диаметром и плоскостью $\beta$ равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром сферы $O$, точкой $A$ на сфере (и в плоскости $\beta$), и центром окружности сечения $C$. Точка $C$ является проекцией точки $O$ на плоскость $\beta$, поэтому отрезок $OC$ перпендикулярен плоскости $\beta$, и треугольник $\triangle OAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике:
- $OA$ — гипотенуза, являющаяся радиусом сферы $R$.
- $AC$ — катет, являющийся радиусом $r$ окружности сечения.
- $OC$ — катет, равный расстоянию от центра сферы до плоскости сечения.

Угол между прямой (в нашем случае, диаметром) и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Радиус $OA$ лежит на диаметре. Проекцией радиуса $OA$ на плоскость $\beta$ является отрезок $AC$. Следовательно, угол между радиусом $OA$ и его проекцией $AC$ равен заданному углу $\alpha$. Таким образом, $\angle OAC = \alpha$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OAC$ имеем соотношение:
$\cos(\angle OAC) = \frac{AC}{OA}$
$\cos(\alpha) = \frac{r}{R}$

Отсюда выражаем радиус сечения $r$:
$r = R \cos(\alpha)$

Теперь можем найти длину окружности сечения:
$L = 2\pi r = 2\pi R \cos(\alpha)$

Подставим в эту формулу числовые значения для каждого случая.

При $R = 2$ см и $\alpha = 30^\circ$:
$L = 2\pi \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 4\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\pi\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\pi\sqrt{3}$ см.

При $R = 5$ м и $\alpha = 45^\circ$:
$L = 2\pi \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ) = 10\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\pi\sqrt{2}$ м.
Ответ: $5\pi\sqrt{2}$ м.

385. Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом φ к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Сфера, являющаяся границей этого шара, также имеет радиус $R$. Пусть $A$ — точка на сфере, через которую проведены две плоскости: касательная плоскость $\alpha$ и секущая плоскость $\beta$. Угол между этими плоскостями равен $\phi$.

Секущая плоскость $\beta$ пересекает шар, образуя в сечении круг. Нам необходимо найти площадь $S$ этого круга. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга сечения.

Для нахождения радиуса $r$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$. В этом треугольнике:

• $O$ — центр шара.
• $A$ — точка на сфере, лежащая в плоскости сечения.
• $C$ — центр круга сечения. Отрезок $OC$ перпендикулярен плоскости сечения $\beta$, поэтому $\angle OCA = 90^{\circ}$.

Гипотенуза этого треугольника $OA$ равна радиусу шара $R$. Катет $AC$ равен радиусу сечения $r$. Катет $OC$ — это расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике имеем:

$r = AC = OA \cdot \cos(\angle OAC)$.

Теперь найдем угол $\angle OAC$.

Радиус $OA$, проведенный в точку касания $A$, перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$.

Угол между плоскостью $\beta$ и прямой $OA$ (то есть $\angle OAC$) является дополнением до $90^{\circ}$ угла между нормалью к плоскости $\beta$ и прямой $OA$.

Угол между двумя плоскостями ($\alpha$ и $\beta$) по определению равен углу между их нормалями. Нормалью к касательной плоскости $\alpha$ является прямая $OA$. Следовательно, угол между прямой $OA$ и нормалью к плоскости $\beta$ равен $\phi$.

Таким образом, угол между прямой $OA$ и самой плоскостью $\beta$ составляет:

$\angle OAC = 90^{\circ} - \phi = \frac{\pi}{2} - \phi$.

Подставим это значение в формулу для радиуса сечения $r$:

$r = R \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \phi) = R \sin \phi$.

Теперь мы можем найти площадь сечения:

$S = \pi r^2 = \pi (R \sin \phi)^2 = \pi R^2 \sin^2 \phi$.

Ответ: Площадь сечения данного шара равна $\pi R^2 \sin^2 \phi$.