Страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 22 см лежать на сфере радиуса 5 см?

Для того чтобы все вершины треугольника могли лежать на сфере, необходимо и достаточно, чтобы радиус окружности, описанной около этого треугольника, был не больше радиуса сферы. Это связано с тем, что плоскость, в которой лежит треугольник, пересекает сферу по окружности (или в предельном случае по точке), и вершины треугольника должны лежать на этой окружности.

Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника, как $r_{окр}$, а радиус сферы как $R_{сф}$. Условие, при котором вершины треугольника могут лежать на сфере, выглядит так: $r_{окр} \le R_{сф}$.

В задаче дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 4$ см и $b = 2\sqrt{2}$ см. Радиус сферы $R_{сф} = \sqrt{5}$ см.

Найдем радиус окружности, описанной около этого треугольника. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы.

Сначала вычислим длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16 + (4 \cdot 2) = 16 + 8 = 24$

$c = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности $r_{окр}$:

$r_{окр} = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ см.

Сравним полученный радиус описанной окружности $r_{окр}$ с радиусом сферы $R_{сф}$:

$r_{окр} = \sqrt{6}$ см

$R_{сф} = \sqrt{5}$ см

Чтобы сравнить $\sqrt{6}$ и $\sqrt{5}$, сравним их подкоренные выражения: $6 > 5$. Следовательно, $\sqrt{6} > \sqrt{5}$.

Мы получили, что $r_{окр} > R_{сф}$.

Это означает, что радиус окружности, необходимой для размещения вершин треугольника, больше радиуса самой сферы. Самая большая окружность, которая может лежать на сфере (так называемый большой круг), имеет радиус, равный радиусу сферы. Так как $r_{окр} > R_{сф}$, разместить такой треугольник на данной сфере невозможно.

Ответ: нет, не могут.

9. Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

Предположим, что две концентрические сферы (сферы с общим центром) с неравными радиусами могут иметь общую касательную плоскость.

Пусть у нас есть две сферы, $S_1$ и $S_2$, с общим центром в точке $O$. Радиус сферы $S_1$ равен $R_1$, а радиус сферы $S_2$ равен $R_2$. По условию задачи, радиусы не равны, то есть $R_1 \neq R_2$.

Допустим, существует плоскость $\alpha$, которая является касательной к обеим сферам одновременно.

По свойству касательной плоскости, расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу этой сферы.

Так как плоскость $\alpha$ касается сферы $S_1$, расстояние от центра $O$ до плоскости $\alpha$ должно быть равно $R_1$.

Так как плоскость $\alpha$ касается и сферы $S_2$, расстояние от того же самого центра $O$ до плоскости $\alpha$ должно быть равно $R_2$.

Таким образом, мы получаем, что расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$ одновременно равно $R_1$ и $R_2$. Отсюда следует, что $R_1 = R_2$.

Однако это противоречит начальному условию задачи, согласно которому $R_1 \neq R_2$. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании общей касательной плоскости неверно.

Ответ: Нет, две сферы с общим центром и с неравными радиусами не могут иметь общую касательную плоскость.

10. Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?

Пусть данный отрезок — это отрезок AB. Искомое множество — это геометрическое место точек M в пространстве, для которых угол ?AMB является прямым.

Рассмотрим любую такую точку M. Точки A, M и B образуют треугольник. По условию, угол ?AMB равен 90°, следовательно, треугольник ?AMB — прямоугольный, а отрезок AB является его гипотенузой.

Известно свойство прямоугольного треугольника: центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Если мы обозначим середину отрезка AB точкой O, то точка O будет центром окружности, описанной около треугольника ?AMB. Радиус этой окружности будет равен расстоянию от центра O до любой из вершин, то есть $OM = OA = OB$. Так как O — середина AB, то $OA = OB = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, для любой точки M из искомого множества выполняется условие $OM = \frac{1}{2}AB$.

Это означает, что все точки M находятся на одинаковом расстоянии, равном половине длины отрезка AB, от фиксированной точки O (середины отрезка AB).

Геометрическим местом точек в пространстве, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки, является сфера. В нашем случае центром сферы является точка O (середина отрезка AB), а радиусом — $R = \frac{1}{2}AB$. Таким образом, отрезок AB является диаметром этой сферы.

Следует исключить из этого множества сами точки A и B, так как в этих случаях треугольник AMB вырождается в отрезок, и понятие угла ?AMB теряет смысл.

Ответ: Множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом, — это сфера, построенная на данном отрезке как на диаметре, за исключением концов самого отрезка.

396. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Его стороны равны диаметру основания $2R$ и высоте цилиндра $H$. Площадь этого сечения, по условию, равна $S$. Таким образом, мы можем записать:
$S = 2R \cdot H$

Теперь рассмотрим сечение, которое требуется найти. Эта плоскость проходит через середину радиуса основания и перпендикулярна ему. Такое сечение также будет являться прямоугольником.

Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$.

Другая сторона этого прямоугольника — хорда в круге, который является основанием цилиндра. Нам нужно найти длину этой хорды.

Рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Плоскость сечения перпендикулярна некоторому радиусу в его середине. Расстояние от центра круга $O$ до хорды, образованной сечением, равно половине радиуса, то есть $\frac{R}{2}$.

Чтобы найти длину хорды, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к концу хорды, половиной хорды и отрезком, соединяющим центр круга с серединой хорды (длина которого $\frac{R}{2}$). Гипотенуза этого треугольника равна $R$, а один из катетов равен $\frac{R}{2}$. Второй катет, который является половиной искомой хорды (обозначим ее $l/2$), можно найти по теореме Пифагора:
$(\frac{l}{2})^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$
$\frac{l}{2} = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, длина всей хорды $l$ равна:
$l = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Площадь искомого сечения ($S_{сеч}$) — это площадь прямоугольника со сторонами $H$ и $l$:
$S_{сеч} = l \cdot H = (R\sqrt{3}) \cdot H = \sqrt{3}RH$

Чтобы выразить эту площадь через $S$, воспользуемся исходной формулой $S = 2RH$. Из нее следует, что $RH = \frac{S}{2}$. Подставим это выражение в формулу для $S_{сеч}$:
$S_{сеч} = \sqrt{3} \cdot (RH) = \sqrt{3} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{S\sqrt{3}}{2}$

397. Вершины A и В прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины С и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна а, AB = а, а угол между прямой ВС и плоскостью основания равен 60°.

Пусть дан цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой (образующей) $h$. По условию, образующая равна $a$, следовательно, $h = a$.

Прямоугольник $ABCD$ расположен так, что его вершины $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а вершины $C$ и $D$ — на окружности верхнего основания. По условию, сторона $AB = a$.

Угол между прямой $BC$ и плоскостью основания — это угол между самой прямой $BC$ и её проекцией на эту плоскость. Опустим перпендикуляр из точки $C$ на плоскость нижнего основания. Пусть $C'$ — основание этого перпендикуляра. Тогда отрезок $CC'$ является образующей цилиндра, и его длина равна высоте цилиндра, то есть $CC' = h = a$.

Отрезок $BC'$ является проекцией прямой $BC$ на плоскость нижнего основания. Треугольник $\triangle BCC'$ — прямоугольный, так как $CC'$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая $BC'$. Угол $\angle C'BC$ — это и есть угол между прямой $BC$ и плоскостью основания, и по условию он равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCC'$. Мы знаем катет $CC' = a$ и угол $\angle C'BC = 60^\circ$. Найдем длину проекции $BC'$:

$BC' = \frac{CC'}{\tan(\angle C'BC)} = \frac{a}{\tan(60^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь рассмотрим проекцию всего прямоугольника $ABCD$ на плоскость нижнего основания. Проекцией вершин $A$ и $B$ являются сами эти точки. Проекцией вершины $C$ является точка $C'$. Проекцией вершины $D$ является точка $D'$, причем $DD'$ также является образующей. Полученная фигура $ABC'D'$ является проекцией прямоугольника $ABCD$ и представляет собой параллелограмм.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а точки $C$ и $D$ — на окружности верхнего, их проекции $C'$ и $D'$ также лежат на окружности нижнего основания (так как при проекции вдоль оси цилиндра расстояние от оси сохраняется). Таким образом, все четыре вершины параллелограмма $ABC'D'$ лежат на одной окружности.

Параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. Следовательно, $ABC'D'$ — это прямоугольник, вписанный в окружность нижнего основания цилиндра.

Стороны этого прямоугольника нам известны: $AB = a$ (по условию) и $BC' = \frac{a}{\sqrt{3}}$ (как мы вычислили ранее).

Диагональ вписанного прямоугольника является диаметром окружности. Найдем квадрат диагонали $AC'$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC'$:

$AC'^2 = AB^2 + BC'^2$

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра. Тогда диагональ $AC' = 2R$. Подставим известные значения:

$(2R)^2 = a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$

$4R^2 = a^2 + \frac{a^2}{3}$

$4R^2 = \frac{3a^2 + a^2}{3} = \frac{4a^2}{3}$

Разделим обе части на 4:

$R^2 = \frac{a^2}{3}$

Извлекая квадратный корень, получаем значение радиуса:

$R = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

398. Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.)

Пусть дан цилиндр с осью $l$ и радиусом основания $R$. Пусть $\alpha$ — плоскость, которая параллельна оси $l$ ($ \alpha \parallel l$), и расстояние от этой плоскости до оси равно радиусу цилиндра ($d(l, \alpha) = R$). Требуется доказать, что плоскость $\alpha$ содержит одну и только одну образующую цилиндра.

Проведем плоскость $\beta$, перпендикулярную оси цилиндра $l$. Эта плоскость пересечет цилиндр по окружности $\omega$, которая является одним из оснований цилиндра. Центр этой окружности — точка $O=l \cap \beta$, а ее радиус равен $R$.

Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $l$, а прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\beta$, то плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $m$.

Расстояние между параллельными прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ постоянно и равно расстоянию от любой точки на прямой $l$ до плоскости $\alpha$. Выберем точку $O$, лежащую на оси $l$. По условию, расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно $R$. Это расстояние есть длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Поскольку плоскость $\beta$ перпендикулярна оси $l$, перпендикуляр из $O$ на плоскость $\alpha$ будет лежать в плоскости $\beta$ и будет перпендикулярен их линии пересечения $m$. Таким образом, в плоскости $\beta$ расстояние от центра окружности $O$ до прямой $m$ равно $R$.

Из планиметрии известно, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то эта прямая является касательной к окружности. Следовательно, прямая $m$ касается окружности $\omega$ в единственной точке. Назовем эту точку $A$.

Точка $A$ обладает двумя свойствами:

1. Она лежит на окружности $\omega$, а значит, и на боковой поверхности цилиндра.
2. Она лежит на прямой $m$, а значит, и в плоскости $\alpha$ (поскольку $m \subset \alpha$).

Теперь рассмотрим образующую цилиндра $g$, проходящую через точку $A$. По определению образующей, она параллельна оси цилиндра $l$ ($g \parallel l$). Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через точку $A$ и параллельна прямой $l$, а прямая $g$ также проходит через точку $A$ и параллельна $l$, то по теореме стереометрии прямая $g$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Мы доказали, что плоскость $\alpha$ содержит по крайней мере одну образующую цилиндра.

Теперь докажем, что эта образующая единственна. Предположим, что существует другая образующая $g'$, которая также лежит в плоскости $\alpha$. Эта образующая должна пересекать плоскость основания $\beta$ в некоторой точке $B$. Так как $g'$ — образующая, точка $B$ должна лежать на окружности $\omega$. Так как $g' \subset \alpha$, точка $B$ должна лежать в плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $B$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть на прямой $m$.

Таким образом, точка $B$ является общей точкой прямой $m$ и окружности $\omega$. Но мы уже установили, что такая общая точка единственна — это точка $A$. Значит, $B$ совпадает с $A$. Поскольку образующая цилиндра однозначно определяется своей точкой на основании, образующие $g'$ и $g$ совпадают. Это противоречит нашему предположению. Следовательно, в плоскости $\alpha$ не может быть более одной образующей.

Итак, доказано, что плоскость $\alpha$ содержит ровно одну образующую цилиндра.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит одну и только одну образующую цилиндра.

399. При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны S₁ и S₂. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a \neq b$. Диагональ прямоугольника $d$ находится по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$, откуда $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Рассмотрим первый случай: вращение прямоугольника вокруг стороны, длина которой равна $a$. В результате этого вращения образуется цилиндр, высота которого $h_1 = a$, а радиус основания $r_1 = b$. Площадь полной поверхности этого цилиндра, обозначенная как $S_1$, складывается из площади боковой поверхности и площади двух оснований:
$S_{\text{полн.}} = S_{\text{бок.}} + 2S_{\text{осн.}}$
$S_1 = 2 \pi r_1 h_1 + 2 \pi r_1^2 = 2\pi b a + 2\pi b^2 = 2\pi b(a+b)$.

Рассмотрим второй случай: вращение прямоугольника вокруг стороны, длина которой равна $b$. В этом случае образуется цилиндр с высотой $h_2 = b$ и радиусом основания $r_2 = a$. Площадь его полной поверхности $S_2$ будет равна:
$S_2 = 2 \pi r_2 h_2 + 2 \pi r_2^2 = 2\pi a b + 2\pi a^2 = 2\pi a(a+b)$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$S_1 = 2\pi b(a+b) \quad (1)$
$S_2 = 2\pi a(a+b) \quad (2)$

Для решения этой системы и нахождения $a^2+b^2$, сложим уравнения (1) и (2):
$S_1 + S_2 = 2\pi b(a+b) + 2\pi a(a+b)$
$S_1 + S_2 = (2\pi b + 2\pi a)(a+b)$
$S_1 + S_2 = 2\pi (a+b)(a+b) = 2\pi(a+b)^2$
Из этого соотношения можно выразить квадрат суммы сторон:
$(a+b)^2 = \frac{S_1 + S_2}{2\pi}$.

Теперь выразим $a$ и $b$ из уравнений (1) и (2):
$b = \frac{S_1}{2\pi(a+b)}$
$a = \frac{S_2}{2\pi(a+b)}$

Чтобы найти искомую величину $d^2 = a^2+b^2$, возведем полученные выражения для $a$ и $b$ в квадрат и сложим их:
$a^2 + b^2 = \left(\frac{S_2}{2\pi(a+b)}\right)^2 + \left(\frac{S_1}{2\pi(a+b)}\right)^2$
$d^2 = a^2 + b^2 = \frac{S_2^2 + S_1^2}{4\pi^2(a+b)^2}$.

Подставим в полученное выражение для $d^2$ найденное ранее выражение для $(a+b)^2$:
$d^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{4\pi^2 \cdot \left(\frac{S_1 + S_2}{2\pi}\right)}$
$d^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{\frac{4\pi^2(S_1 + S_2)}{2\pi}} = \frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1 + S_2)}$.

Наконец, извлекая квадратный корень из обеих частей, находим диагональ прямоугольника $d$:
$d = \sqrt{\frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1 + S_2)}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{S_1^2 + S_2^2}{2\pi(S_1 + S_2)}}$.

400. Найдите отношение площадей полной и боковой поверхностей цилиндра, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором AB : AD = 1 : 2.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi r h$

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)$

Требуется найти отношение площади полной поверхности к площади боковой поверхности:

$\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = \frac{2 \pi r (h + r)}{2 \pi r h} = \frac{h + r}{h} = 1 + \frac{r}{h}$

а)

Если осевое сечение цилиндра представляет собой квадрат, то его высота $h$ равна диаметру основания $d$.

$h = d = 2r$

Подставим это соотношение в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = 1 + \frac{r}{h} = 1 + \frac{r}{2r} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

б)

Если осевое сечение цилиндра — прямоугольник, стороны которого находятся в отношении $1:2$, то эти стороны соответствуют высоте цилиндра $h$ и его диаметру $d = 2r$. Поскольку в условии не указано, какая сторона чему соответствует, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Отношение высоты к диаметру равно $1:2$.

$\frac{h}{d} = \frac{h}{2r} = \frac{1}{2}$, откуда следует, что $h = r$.

В этом случае отношение площадей равно:

$\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = 1 + \frac{r}{h} = 1 + \frac{r}{r} = 1 + 1 = 2$

Случай 2: Отношение диаметра к высоте равно $1:2$.

$\frac{d}{h} = \frac{2r}{h} = \frac{1}{2}$, откуда следует, что $h = 4r$.

В этом случае отношение площадей равно:

$\frac{S_{полн}}{S_{бок}} = 1 + \frac{r}{h} = 1 + \frac{r}{4r} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $2$ или $\frac{5}{4}$

401. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра $2r$ и его высоте $h$.

Круг, описанный около этого прямоугольника, имеет диаметр $d$, равный диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора найдем квадрат диагонали:
$d^2 = (2r)^2 + h^2 = 4r^2 + h^2$

Радиус $R$ описанного круга равен половине его диаметра: $R = \frac{d}{2}$.Площадь этого круга $S_{круга}$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Подставим выражение для $R$:
$S_{круга} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
Теперь подставим выражение для $d^2$:
$S_{круга} = \frac{\pi (4r^2 + h^2)}{4}$

По условию задачи, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения:
$S_{бок} = S_{круга}$
$2 \pi r h = \frac{\pi (4r^2 + h^2)}{4}$

Сократим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$8 r h = 4r^2 + h^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:
$4r^2 - 8rh + h^2 = 0$

Поскольку высота цилиндра $h$ не может быть равна нулю, мы можем разделить все уравнение на $h^2$:
$4\frac{r^2}{h^2} - 8\frac{r}{h} + 1 = 0$
$4\left(\frac{r}{h}\right)^2 - 8\left(\frac{r}{h}\right) + 1 = 0$

Пусть $x = \frac{r}{h}$ — искомое отношение. Тогда мы получаем квадратное уравнение относительно $x$:
$4x^2 - 8x + 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 64 - 16 = 48$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8}$

Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 4:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$

Мы получили два возможных значения для отношения $\frac{r}{h}$:
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$
$x_2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$
Оба значения являются положительными, так как $2 > \sqrt{3}$, поэтому оба решения являются геометрически возможными.

Ответ: Отношение радиуса цилиндра к его высоте равно $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ или $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.

402. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте $h$ и диаметру основания $2r$.

Периметр осевого сечения $P_{сеч}$ по условию задачи равен $2p$. Формула для периметра этого прямоугольника: $P_{сеч} = 2(h + 2r)$

Составим уравнение на основе условия задачи: $2(h + 2r) = 2p$ Разделив обе части уравнения на 2, получим соотношение между высотой и радиусом: $h + 2r = p$

Из этого соотношения можно выразить высоту $h$ через радиус $r$: $h = p - 2r$ Так как высота и радиус являются положительными величинами, то $h > 0$ и $r > 0$. Из $p - 2r > 0$ следует, что $r < \frac{p}{2}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi rh$

Чтобы найти наибольшее значение площади боковой поверхности, подставим выражение для $h$ в ее формулу. Это позволит нам получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $r$: $S(r) = 2\pi r(p - 2r) = 2\pi pr - 4\pi r^2$

Функция $S(r)$ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где переменная — $r$, а коэффициенты $a = -4\pi$ и $b = 2\pi p$. График этой функции — парабола. Поскольку коэффициент $a = -4\pi$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, своего максимального значения функция достигает в вершине.

Абсцисса вершины параболы (в нашем случае — значение радиуса $r$) находится по формуле $r_0 = -\frac{b}{2a}$. Подставим наши значения коэффициентов: $r = -\frac{2\pi p}{2(-4\pi)} = \frac{2\pi p}{8\pi} = \frac{p}{4}$

Полученное значение $r = \frac{p}{4}$ удовлетворяет ранее установленному ограничению $r < \frac{p}{2}$.

Теперь, зная оптимальный радиус, найдем соответствующую высоту $h$: $h = p - 2r = p - 2\left(\frac{p}{4}\right) = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$

Таким образом, для того чтобы цилиндр имел наибольшую площадь боковой поверхности при заданном периметре осевого сечения, его высота должна быть $\frac{p}{2}$, а радиус основания — $\frac{p}{4}$.

Ответ: высота цилиндра равна $\frac{p}{2}$, радиус цилиндра равен $\frac{p}{4}$.

403. Толщина боковой стенки и дна стакана цилиндрической формы равна 1 см, высота стакана равна 16 см, а внутренний радиус равен 5 см. Вычислите площадь полной поверхности стакана.

Для вычисления площади полной поверхности стакана необходимо найти сумму площадей всех его частей: внешней боковой поверхности, внутренней боковой поверхности, площади внешнего дна, площади внутреннего дна и площади верхнего торца в форме кольца.

1. Определение геометрических размеров

Сначала определим все необходимые для расчета размеры на основе данных из условия задачи:

• Внутренний радиус: $r = 5$ см.
• Толщина стенки и дна: $t = 1$ см.
• Внешняя высота стакана: $H = 16$ см.

Из этих данных можно вычислить производные размеры:

• Внешний радиус $R$ (внутренний радиус плюс толщина стенки):
  $R = r + t = 5 + 1 = 6$ см.
• Внутренняя высота $h$ (внешняя высота минус толщина дна):
  $h = H - t = 16 - 1 = 15$ см.

2. Расчет площадей составных поверхностей

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ складывается из пяти следующих частей:

1. Площадь внешней боковой поверхности ($S_1$). Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $R$ и высотой $H$.
   $S_1 = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 6 \cdot 16 = 192\pi \text{ см}^2$.
2. Площадь внутренней боковой поверхности ($S_2$). Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r$ и высотой $h$.
   $S_2 = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 5 \cdot 15 = 150\pi \text{ см}^2$.
3. Площадь внешнего дна ($S_3$). Это площадь круга с радиусом $R$, образующего основание стакана.
   $S_3 = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ см}^2$.
4. Площадь внутреннего дна ($S_4$). Это площадь круга с радиусом $r$ внутри стакана.
   $S_4 = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2$.
5. Площадь верхнего торца ($S_5$). Это площадь кольца, образованного внешним и внутренним радиусами.
   $S_5 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (6^2 - 5^2) = \pi (36 - 25) = 11\pi \text{ см}^2$.

3. Вычисление полной площади поверхности

Чтобы найти полную площадь поверхности, нужно сложить площади всех пяти частей:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5$

$S_{полн} = 192\pi + 150\pi + 36\pi + 25\pi + 11\pi$

$S_{полн} = (192 + 150 + 36 + 25 + 11)\pi = 414\pi \text{ см}^2$

Ответ: $414\pi \text{ см}^2$.

404. Четверть круга свёрнута в коническую поверхность. Докажите, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания.

Пусть $R$ — это радиус исходного круга, из которого была вырезана четверть для создания конической поверхности. Пусть $l$ — образующая полученного конуса, а $r$ — радиус его основания.

При сворачивании сектора круга в конус, радиус этого сектора становится образующей конуса. В данном случае, образующая конуса $l$ равна радиусу исходного круга $R$. Таким образом, $l = R$.

В свою очередь, длина дуги сектора становится длиной окружности основания конуса. Длина дуги для четверти круга с радиусом $R$ вычисляется как четверть от длины всей окружности: $L_{дуги} = \frac{1}{4} \cdot (2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$.

Длина окружности основания конуса с радиусом $r$ вычисляется по стандартной формуле: $L_{основания} = 2\pi r$.

Поскольку длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, мы можем приравнять полученные выражения: $L_{дуги} = L_{основания}$
$\frac{\pi R}{2} = 2\pi r$

Чтобы найти соотношение между $R$ и $r$, решим это уравнение. Разделим обе части уравнения на $\pi$: $\frac{R}{2} = 2r$

Теперь умножим обе части на 2, чтобы выразить $R$: $R = 4r$

Так как в самом начале мы установили, что образующая конуса $l$ равна радиусу исходного круга $R$ (то есть, $l = R$), мы можем подставить $l$ в итоговое равенство: $l = 4r$

Таким образом, мы доказали, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса его основания, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Образующая конуса ($l$) в четыре раза больше радиуса основания ($r$), что выражается соотношением $l = 4r$.

405. Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие.

Пусть $L$ — длина образующей конуса. По условию задачи, у конуса существуют три попарно перпендикулярные образующие. Обозначим их $VA$, $VB$ и $VC$, где $V$ — вершина конуса, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания.

Поскольку образующие $VA$, $VB$ и $VC$ попарно перпендикулярны, то есть $\angle AVB = \angle BVC = \angle CVA = 90^\circ$, треугольники $\triangle VAB$, $\triangle VBC$ и $\triangle VCA$ являются прямоугольными. Так как их катеты — это образующие, имеющие одинаковую длину $L$, эти треугольники также равнобедренные.

Найдем длины сторон треугольника $ABC$, используя теорему Пифагора для каждого из этих прямоугольных треугольников:
$AB^2 = VA^2 + VB^2 = L^2 + L^2 = 2L^2 \implies AB = L\sqrt{2}$.
$BC^2 = VB^2 + VC^2 = L^2 + L^2 = 2L^2 \implies BC = L\sqrt{2}$.
$CA^2 = VC^2 + VA^2 = L^2 + L^2 = 2L^2 \implies CA = L\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC$, образованный точками на основании конуса, является равносторонним со стороной $a = L\sqrt{2}$. Этот треугольник вписан в окружность основания конуса.

Найдем радиус $R$ окружности основания конуса. Этот радиус является радиусом описанной окружности для равностороннего треугольника $ABC$. Формула для радиуса $R$ описанной окружности равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставим в нее значение стороны $a = L\sqrt{2}$:
$R = \frac{L\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = L\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны длине образующей $L$, а основание равно диаметру окружности основания, то есть $2R$. Пусть угол при вершине этого осевого сечения равен $\beta$. Требуется найти $\cos(\beta)$.

Применим теорему косинусов для треугольника осевого сечения:
$(2R)^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\beta)$
$4R^2 = 2L^2 - 2L^2 \cos(\beta)$
$4R^2 = 2L^2(1 - \cos(\beta))$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $R$:
$4 \left( L\sqrt{\frac{2}{3}} \right)^2 = 2L^2(1 - \cos(\beta))$
$4 \cdot L^2 \cdot \frac{2}{3} = 2L^2(1 - \cos(\beta))$
$\frac{8}{3} L^2 = 2L^2(1 - \cos(\beta))$

Разделим обе части уравнения на $2L^2$ (так как длина образующей $L$ не равна нулю):
$\frac{4}{3} = 1 - \cos(\beta)$
Отсюда выразим $\cos(\beta)$:
$\cos(\beta) = 1 - \frac{4}{3}$
$\cos(\beta) = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

406. Площадь основания конуса равна S₁, а площадь боковой поверхности равна S₀. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$ и образующую как $L$.

По условию, площадь основания конуса равна $S_1$. Основание конуса — это круг, его площадь вычисляется по формуле:
$S_1 = \pi R^2$

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_0$. Формула для этой площади:
$S_0 = \pi R L$

Необходимо найти площадь осевого сечения конуса. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота — высоте конуса ($H$). Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$

Наша задача — выразить величину $RH$ через заданные площади $S_1$ и $S_0$.

В прямом конусе радиус основания $R$, высота $H$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза, а $R$ и $H$ — катеты. По теореме Пифагора:
$L^2 = R^2 + H^2$

Из этой теоремы можно выразить высоту $H$:
$H^2 = L^2 - R^2 \implies H = \sqrt{L^2 - R^2}$

Из формулы для площади боковой поверхности $S_0 = \pi R L$ выразим образующую $L$:
$L = \frac{S_0}{\pi R}$

Теперь подставим это выражение для $L$ в формулу для высоты $H$:
$H = \sqrt{\left(\frac{S_0}{\pi R}\right)^2 - R^2} = \sqrt{\frac{S_0^2}{\pi^2 R^2} - R^2}$

Приведем выражение под корнем к общему знаменателю:
$H = \sqrt{\frac{S_0^2 - \pi^2 R^4}{\pi^2 R^2}} = \frac{\sqrt{S_0^2 - (\pi R^2)^2}}{\pi R}$

Вспомним, что $S_1 = \pi R^2$. Заменим $\pi R^2$ на $S_1$ в полученном выражении для $H$:
$H = \frac{\sqrt{S_0^2 - S_1^2}}{\pi R}$

Теперь, когда у нас есть выражение для $H$, мы можем найти площадь осевого сечения $S_{сеч} = RH$:
$S_{сеч} = R \cdot H = R \cdot \frac{\sqrt{S_0^2 - S_1^2}}{\pi R} = \frac{\sqrt{S_0^2 - S_1^2}}{\pi}$

Ответ: $\frac{\sqrt{S_0^2 - S_1^2}}{\pi}$

407. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно $\frac{7}{8}$. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, а его образующую — как $l$.

Площадь боковой поверхности конуса, $S_{бок}$, вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$

Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$, является суммой площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$): $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l+r)$

Согласно условию задачи, отношение этих площадей равно $\frac{7}{8}$: $\frac{S_{бок}}{S_{полн}} = \frac{7}{8}$

Подставим в это соотношение выражения для площадей: $\frac{\pi r l}{\pi r(l+r)} = \frac{7}{8}$

Сократим дробь на $\pi r$ (поскольку для конуса $r \neq 0$): $\frac{l}{l+r} = \frac{7}{8}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $l$ и $r$, используя свойство пропорции: $8l = 7(l+r)$
$8l = 7l + 7r$
$8l - 7l = 7r$
$l = 7r$

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом его основания и образующей. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а радиус $r$ — катетом, прилежащим к искомому углу $\alpha$.

Следовательно, косинус этого угла можно найти как отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Подставим в эту формулу ранее найденное соотношение $l = 7r$: $\cos(\alpha) = \frac{r}{7r} = \frac{1}{7}$

Таким образом, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения: $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{7}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{7}\right)$