Номер 397, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

397. Вершины A и В прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины С и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна а, AB = а, а угол между прямой ВС и плоскостью основания равен 60°.

Пусть дан цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой (образующей) $h$. По условию, образующая равна $a$, следовательно, $h = a$.

Прямоугольник $ABCD$ расположен так, что его вершины $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а вершины $C$ и $D$ — на окружности верхнего основания. По условию, сторона $AB = a$.

Угол между прямой $BC$ и плоскостью основания — это угол между самой прямой $BC$ и её проекцией на эту плоскость. Опустим перпендикуляр из точки $C$ на плоскость нижнего основания. Пусть $C'$ — основание этого перпендикуляра. Тогда отрезок $CC'$ является образующей цилиндра, и его длина равна высоте цилиндра, то есть $CC' = h = a$.

Отрезок $BC'$ является проекцией прямой $BC$ на плоскость нижнего основания. Треугольник $\triangle BCC'$ — прямоугольный, так как $CC'$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая $BC'$. Угол $\angle C'BC$ — это и есть угол между прямой $BC$ и плоскостью основания, и по условию он равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCC'$. Мы знаем катет $CC' = a$ и угол $\angle C'BC = 60^\circ$. Найдем длину проекции $BC'$:

$BC' = \frac{CC'}{\tan(\angle C'BC)} = \frac{a}{\tan(60^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь рассмотрим проекцию всего прямоугольника $ABCD$ на плоскость нижнего основания. Проекцией вершин $A$ и $B$ являются сами эти точки. Проекцией вершины $C$ является точка $C'$. Проекцией вершины $D$ является точка $D'$, причем $DD'$ также является образующей. Полученная фигура $ABC'D'$ является проекцией прямоугольника $ABCD$ и представляет собой параллелограмм.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а точки $C$ и $D$ — на окружности верхнего, их проекции $C'$ и $D'$ также лежат на окружности нижнего основания (так как при проекции вдоль оси цилиндра расстояние от оси сохраняется). Таким образом, все четыре вершины параллелограмма $ABC'D'$ лежат на одной окружности.

Параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. Следовательно, $ABC'D'$ — это прямоугольник, вписанный в окружность нижнего основания цилиндра.

Стороны этого прямоугольника нам известны: $AB = a$ (по условию) и $BC' = \frac{a}{\sqrt{3}}$ (как мы вычислили ранее).

Диагональ вписанного прямоугольника является диаметром окружности. Найдем квадрат диагонали $AC'$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC'$:

$AC'^2 = AB^2 + BC'^2$

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра. Тогда диагональ $AC' = 2R$. Подставим известные значения:

$(2R)^2 = a^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$

$4R^2 = a^2 + \frac{a^2}{3}$

$4R^2 = \frac{3a^2 + a^2}{3} = \frac{4a^2}{3}$

Разделим обе части на 4:

$R^2 = \frac{a^2}{3}$

Извлекая квадратный корень, получаем значение радиуса:

$R = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.