Номер 7, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

7. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка AB?

Да, любая точка отрезка AB принадлежит этому шару.

Это свойство является следствием того, что шар — это выпуклое геометрическое тело. Дадим развернутое объяснение.

По определению, шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$ представляет собой множество всех точек пространства, расстояние от которых до центра $O$ не превышает радиуса $R$. Таким образом, для любой точки $X$, которая принадлежит шару, справедливо неравенство $|OX| \le R$.

Из условия задачи нам известно, что точки $A$ и $B$ принадлежат шару. Это означает, что для них выполняются следующие условия:

$|OA| \le R$

$|OB| \le R$

Нам необходимо доказать, что любая точка $M$, находящаяся на отрезке $AB$, также принадлежит этому шару. То есть, для точки $M$ должно выполняться неравенство $|OM| \le R$.

Геометрическое доказательство (через свойство выпуклости):

Выпуклым множеством называется такое множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит и весь отрезок, их соединяющий. Шар является классическим примером выпуклого тела. Поскольку точки $A$ и $B$ по условию принадлежат шару, то по определению выпуклости и весь отрезок $AB$ целиком принадлежит этому шару.

Алгебраическое доказательство (с использованием векторов):

Пусть центр шара $O$ совпадает с началом координат. Любую точку $M$, лежащую на отрезке $AB$, можно представить с помощью векторного уравнения:

$\vec{OM} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$, где параметр $t$ изменяется в пределах от 0 до 1 ($0 \le t \le 1$).

Оценим расстояние от центра шара до точки $M$, то есть длину вектора $\vec{OM}$, применив неравенство треугольника ($|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$):

$|\vec{OM}| = |(1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}| \le |(1-t)\vec{OA}| + |t\vec{OB}|$

Так как $t$ находится в диапазоне $[0, 1]$, множители $(1-t)$ и $t$ являются неотрицательными. Следовательно, их можно вынести из-под знака модуля длины вектора:

$|\vec{OM}| \le (1-t)|\vec{OA}| + t|\vec{OB}|$

Теперь воспользуемся условиями, что точки $A$ и $B$ принадлежат шару ($|\vec{OA}| \le R$ и $|\vec{OB}| \le R$):

$|\vec{OM}| \le (1-t)R + tR$

Упростим правую часть выражения:

$(1-t)R + tR = R - tR + tR = R$

Таким образом, мы доказали, что для любой точки $M$ на отрезке $AB$ выполняется неравенство $|\vec{OM}| \le R$. Это по определению означает, что любая точка отрезка $AB$ принадлежит шару.

Ответ: Да, принадлежит.