Номер 4, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 4. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 4, страница 111.

4. Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус её основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?

Для решения задачи необходимо сравнить площади полной поверхности двух цилиндрических деталей. Количество расходуемого никеля прямо пропорционально площади поверхности, которую нужно покрыть, так как толщина слоя никеля одинакова для обеих деталей.

Обозначим радиус основания и высоту первой детали как $r_1$ и $h_1$, а второй детали — как $r_2$ и $h_2$.

Согласно условию задачи, высота первой детали в два раза больше высоты второй, то есть $h_1 = 2h_2$. Радиус основания первой детали в два раза меньше радиуса основания второй, то есть $r_1 = \frac{1}{2}r_2$ или, что эквивалентно, $r_2 = 2r_1$.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади боковой поверхности ($2\pi rh$) и площади двух оснований ($2\pi r^2$):

$S = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$

Найдем площадь полной поверхности для первой детали ($S_1$):

$S_1 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi r_1^2$

Найдем площадь полной поверхности для второй детали ($S_2$):

$S_2 = 2\pi r_2 h_2 + 2\pi r_2^2$

Чтобы сравнить эти две площади, выразим размеры второй детали ($r_2, h_2$) через размеры первой ($r_1, h_1$). Мы знаем, что $r_2 = 2r_1$ и $h_2 = \frac{h_1}{2}$. Подставим эти выражения в формулу для площади $S_2$:

$S_2 = 2\pi (2r_1) \left(\frac{h_1}{2}\right) + 2\pi (2r_1)^2$

Упростим полученное выражение:

$S_2 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi (4r_1^2) = 2\pi r_1 h_1 + 8\pi r_1^2$

Теперь сравним выражения для $S_1$ и $S_2$:

$S_1 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi r_1^2$

$S_2 = 2\pi r_1 h_1 + 8\pi r_1^2$

Оба выражения содержат одинаковый член $2\pi r_1 h_1$, который представляет собой площадь боковой поверхности. Можно заметить, что боковые поверхности у деталей равны: $S_{бок,2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi (2r_1)(\frac{h_1}{2}) = 2\pi r_1 h_1 = S_{бок,1}$.

Различие заключается во втором слагаемом, которое представляет площадь двух оснований. Для первой детали это $2\pi r_1^2$, а для второй — $8\pi r_1^2$.

Поскольку радиус $r_1$ является положительной величиной, очевидно, что $8\pi r_1^2 > 2\pi r_1^2$. Следовательно, $S_2 > S_1$.

Это означает, что площадь полной поверхности второй детали больше, чем у первой, и на ее покрытие потребуется больше никеля.

Ответ: Больше никеля расходуется на вторую деталь.