Номер 3, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 4. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 3, страница 111.

3. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?

Пусть высота цилиндра равна $H$. Введем систему координат так, чтобы нижнее основание лежало в плоскости $z=0$, а верхнее — в плоскости $z=H$.

Пусть $c_1$ — хорда в нижнем основании, а $c_2$ — хорда в верхнем. Возьмем произвольную точку $A$ на хорде $c_1$ и произвольную точку $B$ на хорде $c_2$. Пусть их координаты $A(x_A, y_A, 0)$ и $B(x_B, y_B, H)$.

Квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (H - 0)^2 = d_{xy}^2 + H^2$ где $d_{xy}$ — это расстояние между проекциями точек $A$ и $B$ на одно из оснований.

Кратчайшее расстояние между точками этих хорд будет равно $d_{min} = \sqrt{d_{xy, min}^2 + H^2}$, где $d_{xy, min}$ — это кратчайшее расстояние между хордой $c_1$ и проекцией хорды $c_2$ на плоскость нижнего основания. Обозначим эту проекцию как $c'_2$. Хорды $c_1$ и $c_2$ не параллельны, следовательно, их проекции $c_1$ и $c'_2$ также не параллельны.

а) равным высоте цилиндра;

Кратчайшее расстояние может быть равным высоте цилиндра $H$, если $d_{min} = H$. Из формулы $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2$ следует, что для этого необходимо выполнение условия $d_{xy, min}^2 = 0$, то есть $d_{xy, min} = 0$.

Расстояние между двумя отрезками ($c_1$ и $c'_2$) в плоскости равно нулю тогда и только тогда, когда они имеют хотя бы одну общую точку, то есть пересекаются. Поскольку хорды $c_1$ и $c_2$ не параллельны, мы всегда можем расположить их так, чтобы их проекции на основание пересекались. Например, можно взять две пересекающиеся в центре основания диаметральные хорды, которые не параллельны друг другу (например, перпендикулярны).

Пример: пусть нижнее основание — круг $x^2+y^2 \le R^2$ в плоскости $z=0$, а верхнее — в плоскости $z=H$. Возьмем в качестве хорды $c_1$ диаметр, лежащий на оси Ox: от $(-R, 0, 0)$ до $(R, 0, 0)$. В качестве хорды $c_2$ возьмем диаметр в верхнем основании, лежащий на оси Oy: от $(0, -R, H)$ до $(0, R, H)$. Эти хорды не параллельны. Их проекции на плоскость $z=0$ пересекаются в точке $(0, 0, 0)$. Кратчайшее расстояние между хордами будет равно расстоянию между точкой $(0, 0, 0)$ на $c_1$ и точкой $(0, 0, H)$ на $c_2$, что равно $H$.

Ответ: да, может.

б) больше высоты цилиндра;

Кратчайшее расстояние может быть больше высоты цилиндра $H$, если $d_{min} > H$. Из формулы $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2$ следует, что для этого необходимо выполнение условия $d_{xy, min}^2 > 0$, то есть $d_{xy, min} > 0$.

Расстояние между двумя отрезками ($c_1$ и $c'_2$) в плоскости будет больше нуля, если они не пересекаются. Мы можем расположить непараллельные хорды так, чтобы их проекции не пересекались.

Пример: пусть основание цилиндра — круг $x^2+y^2 \le R^2$. Возьмем хорду $c_1$ в нижнем основании, соединяющую точки $(R, 0, 0)$ и $(0, R, 0)$. Возьмем хорду $c_2$ в верхнем основании, соединяющую точки $(-R, 0, H)$ и $(0, -R, H)$. Эти хорды не параллельны. Их проекции $c_1$ и $c'_2$ лежат на прямых $x+y=R$ и $x+y=-R$ соответственно. Они находятся в разных квадрантах и не пересекаются. Кратчайшее расстояние между ними $d_{xy, min}$ будет больше нуля. Следовательно, кратчайшее расстояние между исходными хордами $d_{min} = \sqrt{d_{xy, min}^2 + H^2}$ будет строго больше $H$.

Ответ: да, может.

в) меньше высоты цилиндра?

Кратчайшее расстояние не может быть меньше высоты цилиндра $H$. Рассмотрим формулу для квадрата кратчайшего расстояния: $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2$.

Величина $d_{xy, min}$ — это расстояние, поэтому $d_{xy, min} \ge 0$, и, следовательно, $d_{xy, min}^2 \ge 0$. Тогда $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2 \ge 0 + H^2 = H^2$. Поскольку расстояние $d_{min}$ — неотрицательная величина, из $d_{min}^2 \ge H^2$ следует, что $d_{min} \ge H$.

Таким образом, кратчайшее расстояние между точками этих хорд всегда не меньше высоты цилиндра. Оно может быть равно $H$ (пункт а) или больше $H$ (пункт б), но никогда не может быть меньше $H$.

Ответ: нет, не может.