Номер 8, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 4. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 8, страница 112.

8. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 22 см лежать на сфере радиуса 5 см?

Для того чтобы все вершины треугольника могли лежать на сфере, необходимо и достаточно, чтобы радиус окружности, описанной около этого треугольника, был не больше радиуса сферы. Это связано с тем, что плоскость, в которой лежит треугольник, пересекает сферу по окружности (или в предельном случае по точке), и вершины треугольника должны лежать на этой окружности.

Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника, как $r_{окр}$, а радиус сферы как $R_{сф}$. Условие, при котором вершины треугольника могут лежать на сфере, выглядит так: $r_{окр} \le R_{сф}$.

В задаче дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 4$ см и $b = 2\sqrt{2}$ см. Радиус сферы $R_{сф} = \sqrt{5}$ см.

Найдем радиус окружности, описанной около этого треугольника. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы.

Сначала вычислим длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 = 16 + (4 \cdot 2) = 16 + 8 = 24$

$c = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности $r_{окр}$:

$r_{окр} = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ см.

Сравним полученный радиус описанной окружности $r_{окр}$ с радиусом сферы $R_{сф}$:

$r_{окр} = \sqrt{6}$ см

$R_{сф} = \sqrt{5}$ см

Чтобы сравнить $\sqrt{6}$ и $\sqrt{5}$, сравним их подкоренные выражения: $6 > 5$. Следовательно, $\sqrt{6} > \sqrt{5}$.

Мы получили, что $r_{окр} > R_{сф}$.

Это означает, что радиус окружности, необходимой для размещения вершин треугольника, больше радиуса самой сферы. Самая большая окружность, которая может лежать на сфере (так называемый большой круг), имеет радиус, равный радиусу сферы. Так как $r_{окр} > R_{сф}$, разместить такой треугольник на данной сфере невозможно.

Ответ: нет, не могут.