Номер 396, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

396. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Его стороны равны диаметру основания $2R$ и высоте цилиндра $H$. Площадь этого сечения, по условию, равна $S$. Таким образом, мы можем записать:
$S = 2R \cdot H$

Теперь рассмотрим сечение, которое требуется найти. Эта плоскость проходит через середину радиуса основания и перпендикулярна ему. Такое сечение также будет являться прямоугольником.

Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$.

Другая сторона этого прямоугольника — хорда в круге, который является основанием цилиндра. Нам нужно найти длину этой хорды.

Рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Плоскость сечения перпендикулярна некоторому радиусу в его середине. Расстояние от центра круга $O$ до хорды, образованной сечением, равно половине радиуса, то есть $\frac{R}{2}$.

Чтобы найти длину хорды, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к концу хорды, половиной хорды и отрезком, соединяющим центр круга с серединой хорды (длина которого $\frac{R}{2}$). Гипотенуза этого треугольника равна $R$, а один из катетов равен $\frac{R}{2}$. Второй катет, который является половиной искомой хорды (обозначим ее $l/2$), можно найти по теореме Пифагора:
$(\frac{l}{2})^2 = R^2 - (\frac{R}{2})^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$
$\frac{l}{2} = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, длина всей хорды $l$ равна:
$l = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Площадь искомого сечения ($S_{сеч}$) — это площадь прямоугольника со сторонами $H$ и $l$:
$S_{сеч} = l \cdot H = (R\sqrt{3}) \cdot H = \sqrt{3}RH$

Чтобы выразить эту площадь через $S$, воспользуемся исходной формулой $S = 2RH$. Из нее следует, что $RH = \frac{S}{2}$. Подставим это выражение в формулу для $S_{сеч}$:
$S_{сеч} = \sqrt{3} \cdot (RH) = \sqrt{3} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{S\sqrt{3}}{2}$