Номер 403, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

403. Толщина боковой стенки и дна стакана цилиндрической формы равна 1 см, высота стакана равна 16 см, а внутренний радиус равен 5 см. Вычислите площадь полной поверхности стакана.

Для вычисления площади полной поверхности стакана необходимо найти сумму площадей всех его частей: внешней боковой поверхности, внутренней боковой поверхности, площади внешнего дна, площади внутреннего дна и площади верхнего торца в форме кольца.

1. Определение геометрических размеров

Сначала определим все необходимые для расчета размеры на основе данных из условия задачи:

• Внутренний радиус: $r = 5$ см.
• Толщина стенки и дна: $t = 1$ см.
• Внешняя высота стакана: $H = 16$ см.

Из этих данных можно вычислить производные размеры:

• Внешний радиус $R$ (внутренний радиус плюс толщина стенки):
  $R = r + t = 5 + 1 = 6$ см.
• Внутренняя высота $h$ (внешняя высота минус толщина дна):
  $h = H - t = 16 - 1 = 15$ см.

2. Расчет площадей составных поверхностей

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ складывается из пяти следующих частей:

1. Площадь внешней боковой поверхности ($S_1$). Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $R$ и высотой $H$.
   $S_1 = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 6 \cdot 16 = 192\pi \text{ см}^2$.
2. Площадь внутренней боковой поверхности ($S_2$). Это боковая поверхность цилиндра с радиусом $r$ и высотой $h$.
   $S_2 = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 5 \cdot 15 = 150\pi \text{ см}^2$.
3. Площадь внешнего дна ($S_3$). Это площадь круга с радиусом $R$, образующего основание стакана.
   $S_3 = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ см}^2$.
4. Площадь внутреннего дна ($S_4$). Это площадь круга с радиусом $r$ внутри стакана.
   $S_4 = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2$.
5. Площадь верхнего торца ($S_5$). Это площадь кольца, образованного внешним и внутренним радиусами.
   $S_5 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (6^2 - 5^2) = \pi (36 - 25) = 11\pi \text{ см}^2$.

3. Вычисление полной площади поверхности

Чтобы найти полную площадь поверхности, нужно сложить площади всех пяти частей:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5$

$S_{полн} = 192\pi + 150\pi + 36\pi + 25\pi + 11\pi$

$S_{полн} = (192 + 150 + 36 + 25 + 11)\pi = 414\pi \text{ см}^2$

Ответ: $414\pi \text{ см}^2$.