Номер 408, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

408. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

Пусть дан конус с вершиной $S$ и центром основания $O$. Радиус основания $R$ равен 4 см. Сечение проходит через вершину конуса $S$ и хорду $AB$ в основании. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$, так как его боковые стороны $SA$ и $SB$ являются образующими конуса и, следовательно, равны.

Площадь этого сечения (треугольника $SAB$) можно найти по формуле: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK$, где $AB$ — основание треугольника (хорда), а $SK$ — его высота, проведенная из вершины $S$.

Сначала найдем длину хорды $AB$. Хорда стягивает дугу в $120^\circ$, это значит, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, $\angle AOB = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $AOB$ в основании конуса. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 4$ см. Проведем высоту $OK$ из вершины $O$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $K$ — середина хорды $AB$, а угол $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOK$ катет $AK$ равен: $AK = OA \cdot \sin(\angle AOK) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. Поскольку $K$ — середина $AB$, то длина всей хорды равна: $AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту сечения $SK$. По условию, плоскость сечения $(SAB)$ составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного данными плоскостями. Так как высота сечения $SK$ перпендикулярна линии их пересечения (хорде $AB$), и отрезок $OK$ также перпендикулярен $AB$, то линейным углом будет $\angle SKO$. Таким образом, $\angle SKO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOK$. Высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, $SO \perp OK$. Следовательно, треугольник $SOK$ является прямоугольным. Найдем длину катета $OK$ из прямоугольного треугольника $AOK$: $OK = OA \cdot \cos(\angle AOK) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

В прямоугольном треугольнике $SOK$ известен катет $OK = 2$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SKO = 45^\circ$. Найдем гипотенузу $SK$, которая является высотой сечения: $\cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK}$ $SK = \frac{OK}{\cos(\angle SKO)} = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Наконец, зная основание $AB$ и высоту $SK$ треугольника $SAB$, можем вычислить его площадь: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{6}$ см$^2$.