Номер 401, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

401. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра $2r$ и его высоте $h$.

Круг, описанный около этого прямоугольника, имеет диаметр $d$, равный диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора найдем квадрат диагонали:
$d^2 = (2r)^2 + h^2 = 4r^2 + h^2$

Радиус $R$ описанного круга равен половине его диаметра: $R = \frac{d}{2}$.Площадь этого круга $S_{круга}$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Подставим выражение для $R$:
$S_{круга} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$
Теперь подставим выражение для $d^2$:
$S_{круга} = \frac{\pi (4r^2 + h^2)}{4}$

По условию задачи, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения:
$S_{бок} = S_{круга}$
$2 \pi r h = \frac{\pi (4r^2 + h^2)}{4}$

Сократим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$8 r h = 4r^2 + h^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:
$4r^2 - 8rh + h^2 = 0$

Поскольку высота цилиндра $h$ не может быть равна нулю, мы можем разделить все уравнение на $h^2$:
$4\frac{r^2}{h^2} - 8\frac{r}{h} + 1 = 0$
$4\left(\frac{r}{h}\right)^2 - 8\left(\frac{r}{h}\right) + 1 = 0$

Пусть $x = \frac{r}{h}$ — искомое отношение. Тогда мы получаем квадратное уравнение относительно $x$:
$4x^2 - 8x + 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 64 - 16 = 48$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8}$

Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на 4:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$

Мы получили два возможных значения для отношения $\frac{r}{h}$:
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$
$x_2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$
Оба значения являются положительными, так как $2 > \sqrt{3}$, поэтому оба решения являются геометрически возможными.

Ответ: Отношение радиуса цилиндра к его высоте равно $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ или $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.