Номер 404, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Сфера, дополнительные задачи. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 404, страница 112.

404. Четверть круга свёрнута в коническую поверхность. Докажите, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания.

Пусть $R$ — это радиус исходного круга, из которого была вырезана четверть для создания конической поверхности. Пусть $l$ — образующая полученного конуса, а $r$ — радиус его основания.

При сворачивании сектора круга в конус, радиус этого сектора становится образующей конуса. В данном случае, образующая конуса $l$ равна радиусу исходного круга $R$. Таким образом, $l = R$.

В свою очередь, длина дуги сектора становится длиной окружности основания конуса. Длина дуги для четверти круга с радиусом $R$ вычисляется как четверть от длины всей окружности: $L_{дуги} = \frac{1}{4} \cdot (2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$.

Длина окружности основания конуса с радиусом $r$ вычисляется по стандартной формуле: $L_{основания} = 2\pi r$.

Поскольку длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, мы можем приравнять полученные выражения: $L_{дуги} = L_{основания}$
$\frac{\pi R}{2} = 2\pi r$

Чтобы найти соотношение между $R$ и $r$, решим это уравнение. Разделим обе части уравнения на $\pi$: $\frac{R}{2} = 2r$

Теперь умножим обе части на 2, чтобы выразить $R$: $R = 4r$

Так как в самом начале мы установили, что образующая конуса $l$ равна радиусу исходного круга $R$ (то есть, $l = R$), мы можем подставить $l$ в итоговое равенство: $l = 4r$

Таким образом, мы доказали, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса его основания, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Образующая конуса ($l$) в четыре раза больше радиуса основания ($r$), что выражается соотношением $l = 4r$.