Номер 398, страница 112 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

398. Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.)

Пусть дан цилиндр с осью $l$ и радиусом основания $R$. Пусть $\alpha$ — плоскость, которая параллельна оси $l$ ($ \alpha \parallel l$), и расстояние от этой плоскости до оси равно радиусу цилиндра ($d(l, \alpha) = R$). Требуется доказать, что плоскость $\alpha$ содержит одну и только одну образующую цилиндра.

Проведем плоскость $\beta$, перпендикулярную оси цилиндра $l$. Эта плоскость пересечет цилиндр по окружности $\omega$, которая является одним из оснований цилиндра. Центр этой окружности — точка $O=l \cap \beta$, а ее радиус равен $R$.

Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $l$, а прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\beta$, то плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $m$.

Расстояние между параллельными прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ постоянно и равно расстоянию от любой точки на прямой $l$ до плоскости $\alpha$. Выберем точку $O$, лежащую на оси $l$. По условию, расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно $R$. Это расстояние есть длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Поскольку плоскость $\beta$ перпендикулярна оси $l$, перпендикуляр из $O$ на плоскость $\alpha$ будет лежать в плоскости $\beta$ и будет перпендикулярен их линии пересечения $m$. Таким образом, в плоскости $\beta$ расстояние от центра окружности $O$ до прямой $m$ равно $R$.

Из планиметрии известно, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то эта прямая является касательной к окружности. Следовательно, прямая $m$ касается окружности $\omega$ в единственной точке. Назовем эту точку $A$.

Точка $A$ обладает двумя свойствами:

1. Она лежит на окружности $\omega$, а значит, и на боковой поверхности цилиндра.
2. Она лежит на прямой $m$, а значит, и в плоскости $\alpha$ (поскольку $m \subset \alpha$).

Теперь рассмотрим образующую цилиндра $g$, проходящую через точку $A$. По определению образующей, она параллельна оси цилиндра $l$ ($g \parallel l$). Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через точку $A$ и параллельна прямой $l$, а прямая $g$ также проходит через точку $A$ и параллельна $l$, то по теореме стереометрии прямая $g$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Мы доказали, что плоскость $\alpha$ содержит по крайней мере одну образующую цилиндра.

Теперь докажем, что эта образующая единственна. Предположим, что существует другая образующая $g'$, которая также лежит в плоскости $\alpha$. Эта образующая должна пересекать плоскость основания $\beta$ в некоторой точке $B$. Так как $g'$ — образующая, точка $B$ должна лежать на окружности $\omega$. Так как $g' \subset \alpha$, точка $B$ должна лежать в плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $B$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть на прямой $m$.

Таким образом, точка $B$ является общей точкой прямой $m$ и окружности $\omega$. Но мы уже установили, что такая общая точка единственна — это точка $A$. Значит, $B$ совпадает с $A$. Поскольку образующая цилиндра однозначно определяется своей точкой на основании, образующие $g'$ и $g$ совпадают. Это противоречит нашему предположению. Следовательно, в плоскости $\alpha$ не может быть более одной образующей.

Итак, доказано, что плоскость $\alpha$ содержит ровно одну образующую цилиндра.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит одну и только одну образующую цилиндра.