Номер 6, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

6. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, в общем случае представляет собой равнобедренный треугольник. В частном (вырожденном) случае, когда секущая плоскость касается конуса, сечением является его образующая.

Рассмотрим это утверждение подробнее. Пусть $S$ — вершина конуса, а секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $S$.

1. Случай, когда плоскость пересекает основание конуса.

Если плоскость $\alpha$ пересекает круглое основание конуса, то линией их пересечения будет хорда. Обозначим концы этой хорды как точки $A$ и $B$. Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через вершину $S$, она будет пересекать боковую поверхность конуса по двум отрезкам, соединяющим вершину с точками на окружности основания. Этими отрезками являются образующие $SA$ и $SB$. В результате в сечении образуется треугольник $\triangle SAB$. По определению конуса, все его образующие равны между собой, значит, $SA = SB$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Основанием этого треугольника служит хорда $AB$, а боковыми сторонами — образующие конуса.

Частный случай: если секущая плоскость проходит через ось конуса, такое сечение называется осевым. Хорда $AB$ в этом случае является диаметром основания, а сечение — по-прежнему равнобедренный треугольник.

2. Случай, когда плоскость касается конуса.

Если плоскость $\alpha$ имеет с конусом только одну общую образующую, она называется касательной плоскостью к конусу. В этом случае плоскость пересекает плоскость основания по прямой, которая касается окружности основания в одной точке (назовем ее $A$). Сечением конуса в этом случае является сама образующая $SA$. Этот случай можно рассматривать как вырожденный равнобедренный треугольник, у которого основание $AB$ "стянулось" в одну точку ($A=B$), и его длина равна нулю.

Ответ: Равнобедренный треугольник или, в случае касания, образующая конуса.