Страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

386. Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Двугранный угол образован двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $l$ (ребро двугранного угла). Величина угла составляет $120^\circ$. Сфера касается плоскостей $\alpha$ и $\beta$ в точках $A$ и $B$ соответственно. По условию, расстояние от центра сферы $O$ до ребра $l$ равно $a$.

Для решения задачи рассмотрим сечение, проходящее через центр сферы $O$ и перпендикулярное ребру $l$. В этом сечении 3D-задача сводится к 2D-задаче:

• Ребро $l$ проектируется в точку $C$.
• Грани двугранного угла ($\alpha$ и $\beta$) проектируются в лучи, выходящие из точки $C$ под углом $\angle ACB = 120^\circ$.
• Сфера проектируется в большой круг с центром $O$ и радиусом $R$, вписанный в этот угол.
• Точки касания $A$ и $B$ лежат в плоскости сечения, при этом радиусы, проведенные к ним, перпендикулярны сторонам угла: $OA \perp CA$ и $OB \perp CB$.
• Расстояние от центра $O$ до ребра $l$ — это длина отрезка $OC$, то есть $OC = a$.

Требуется найти радиус $R$ и расстояние $AB$.

Рассмотрим полученную в сечении геометрическую фигуру. Так как точка $O$ равноудалена от сторон угла $\angle ACB$ (расстояния равны радиусу $R$), она лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, биссектриса $OC$ делит угол $\angle ACB$ на два равных угла:

$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$ (угол $\angle OAC = 90^\circ$, так как радиус перпендикулярен касательной). В этом треугольнике:

• гипотенуза $OC = a$;
• катет $OA = R$;
• угол $\angle OCA = 60^\circ$.

Используя тригонометрическое соотношение для синуса угла, получаем:

$\sin(\angle OCA) = \frac{OA}{OC}$

$\sin(60^\circ) = \frac{R}{a}$

Отсюда выражаем радиус $R$:

$R = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: радиус сферы равен $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем расстояние между точками касания $A$ и $B$, то есть длину хорды $AB$. Для этого рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Нам известны три угла:

• $\angle OAC = 90^\circ$ (свойство касательной);
• $\angle OBC = 90^\circ$ (свойство касательной);
• $\angle ACB = 120^\circ$ (по условию).

Найдем четвертый угол $\angle AOB$:

$\angle AOB = 360^\circ - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Этот треугольник является равнобедренным, так как его стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу сферы $R$. Угол между этими равными сторонами, как мы нашли, равен $\angle AOB = 60^\circ$.

Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны:

$AB = OA = OB = R$

Подставив найденное ранее значение для $R$, получаем:

$AB = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: расстояние между точками касания равно $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

387. Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — её радиус, $\alpha$ — касательная плоскость, $K$ — точка касания плоскости $\alpha$ и сферы, а $A$ — точка, лежащая в плоскости $\alpha$.

Из условия задачи нам известно:

• Радиус сферы $R = 112$ см.
• Расстояние от точки $A$ до точки касания $K$ равно $AK = 15$ см.

По свойству касательной плоскости к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, отрезок $OK$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Так как прямая $AK$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $K$, то $OK \perp AK$.

Таким образом, треугольник $\triangle OAK$ является прямоугольным с катетами $OK$ и $AK$ и гипотенузой $OA$.

Найдем расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$ по теореме Пифагора:

$OA^2 = OK^2 + AK^2$

Подставим известные значения:

$OA^2 = 112^2 + 15^2 = 12544 + 225 = 12769$

$OA = \sqrt{12769} = 113$ см.

Ближайшая к точке $A$ точка на сфере лежит на отрезке, соединяющем точку $A$ с центром сферы $O$. Обозначим эту точку $B$. Точка $B$ является точкой пересечения отрезка $OA$ и сферы. Расстояние от $A$ до $B$ будет наименьшим.

Длина отрезка $OB$ равна радиусу сферы, то есть $OB = R = 112$ см.

Искомое расстояние — это длина отрезка $AB$, которую можно найти как разность длин отрезков $OA$ и $OB$:

$AB = OA - OB = 113 - 112 = 1$ см.

Ответ: 1 см.

388. Найдите площадь сферы, радиус которой равен:

а) 6 см;

б) 2 дм;

в) 2 м;

г) 23 см.

Для нахождения площади сферы используется формула $S = 4\pi R^2$, где $S$ – площадь сферы, а $R$ – ее радиус. Решим задачу для каждого из заданных значений радиуса.

а) Дан радиус сферы $R = 6$ см. Подставим значение радиуса в формулу площади сферы:
$S = 4\pi \cdot (6 \text{ см})^2 = 4\pi \cdot 36 \text{ см}^2 = 144\pi \text{ см}^2$.
Ответ: $144\pi \text{ см}^2$.

б) Дан радиус сферы $R = 2$ дм. Подставим значение радиуса в формулу площади сферы:
$S = 4\pi \cdot (2 \text{ дм})^2 = 4\pi \cdot 4 \text{ дм}^2 = 16\pi \text{ дм}^2$.
Ответ: $16\pi \text{ дм}^2$.

в) Дан радиус сферы $R = \sqrt{2}$ м. Подставим значение радиуса в формулу площади сферы:
$S = 4\pi \cdot (\sqrt{2} \text{ м})^2 = 4\pi \cdot 2 \text{ м}^2 = 8\pi \text{ м}^2$.
Ответ: $8\pi \text{ м}^2$.

г) Дан радиус сферы $R = 2\sqrt{3}$ см. Подставим значение радиуса в формулу площади сферы:
$S = 4\pi \cdot (2\sqrt{3} \text{ см})^2 = 4\pi \cdot (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) \text{ см}^2 = 4\pi \cdot (4 \cdot 3) \text{ см}^2 = 4\pi \cdot 12 \text{ см}^2 = 48\pi \text{ см}^2$.
Ответ: $48\pi \text{ см}^2$.

389. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9 м². Найдите площадь сферы.

Сечение сферы, проходящее через её центр, является большим кругом. Радиус этого круга совпадает с радиусом самой сферы. Обозначим радиус сферы как $R$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. По условию задачи, площадь сечения, проходящего через центр, равна 9 м?. Следовательно, мы имеем: $S_{сечения} = \pi R^2 = 9 \text{ м}^2$.

Площадь поверхности сферы находится по формуле $S_{сферы} = 4 \pi R^2$.

Чтобы найти площадь сферы, мы можем использовать уже известное нам значение $\pi R^2$. Подставим его в формулу площади сферы: $S_{сферы} = 4 \times (\pi R^2)$.

$S_{сферы} = 4 \times 9 = 36 \text{ м}^2$.

Ответ: $36 \text{ м}^2$.

390. Площадь сферы равна 324 см². Найдите радиус сферы.

Для нахождения радиуса сферы воспользуемся формулой площади ее поверхности: $S = 4\pi R^2$, где $S$ — площадь, а $R$ — радиус.

В условии задачи указана площадь $S = 324 \text{ см}^2$. В такого рода учебных задачах очень часто в значении площади опускается множитель $\pi$ для краткости. Предполагается, что площадь на самом деле равна $324\pi \text{ см}^2$, так как это приводит к целочисленному ответу, что характерно для школьного курса. Будем решать задачу исходя из этого предположения.

Подставим значение площади $S = 324\pi$ в формулу:

$324\pi = 4\pi R^2$

Чтобы найти $R$, сначала выразим $R^2$. Для этого разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$R^2 = \frac{324\pi}{4\pi}$

Сокращаем $\pi$ в числителе и знаменателе и вычисляем частное:

$R^2 = \frac{324}{4}$

$R^2 = 81$

Теперь извлечем квадратный корень из полученного значения, чтобы найти радиус. Поскольку радиус является геометрической величиной, его значение должно быть положительным.

$R = \sqrt{81}$

$R = 9 \text{ см}$

Ответ: $9 \text{ см}$.

391. Докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов.

Чтобы доказать, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов, необходимо показать, что отношение их площадей равно отношению квадратов их радиусов.

Пусть даны две сферы. Радиус первой сферы равен $R_1$, а площадь ее поверхности — $S_1$. Радиус второй сферы равен $R_2$, а площадь ее поверхности — $S_2$.

Формула для вычисления площади поверхности сферы с радиусом $R$ имеет вид:

$S = 4\pi R^2$

Используя эту формулу, запишем выражения для площадей наших двух сфер:

$S_1 = 4\pi R_1^2$

$S_2 = 4\pi R_2^2$

Теперь найдем отношение площади первой сферы к площади второй сферы:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2}$

В данном выражении можно сократить общий множитель $4\pi$, так как он присутствует и в числителе, и в знаменателе:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$

Мы получили равенство, которое показывает, что отношение площадей двух сфер равно отношению квадратов их радиусов. Это и есть математическое выражение прямой пропорциональности между площадями и квадратами радиусов. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано. Отношение площадей двух сфер равно отношению квадратов их радиусов: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$.

392. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти площадь поверхности сферы, используя формулу и заданный радиус.
2. Приравнять площадь круга к найденной площади сферы, так как это задано в условии.
3. Из формулы площади круга выразить и вычислить его радиус.

1. Вычисление площади сферы

Формула для вычисления площади поверхности сферы ($S_{сферы}$) с радиусом $R$:

$S_{сферы} = 4 \pi R^2$

По условию, радиус сферы $R = 5$ м. Подставим это значение в формулу:

$S_{сферы} = 4 \pi (5)^2 = 4 \pi \cdot 25 = 100 \pi$ м?

2. Вычисление радиуса круга

По условию задачи, площадь круга ($S_{круга}$) равна площади сферы:

$S_{круга} = S_{сферы} = 100 \pi$ м?

Формула для вычисления площади круга с радиусом $r$:

$S_{круга} = \pi r^2$

Теперь мы можем составить уравнение, чтобы найти радиус круга $r$:

$\pi r^2 = 100 \pi$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$r^2 = 100$

Чтобы найти $r$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как радиус является положительной величиной, мы рассматриваем только положительный корень:

$r = \sqrt{100} = 10$ м

Ответ: 10 м.

393. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $O$ — её центр. Сечения сферы плоскостями являются кругами. Обозначим радиусы этих кругов как $r_1 = 9$ см и $r_2 = 12$ см.

Рассмотрим осевое сечение сферы, которое проходит через её центр и перпендикулярно двум параллельным секущим плоскостям. В этом сечении сфера будет выглядеть как большая окружность радиуса $R$, а сечения — как две параллельные хорды.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — это расстояния от центра сферы $O$ до плоскостей сечений с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. Для каждого сечения образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус сферы $R$, а катетами — радиус сечения ($r_1$ или $r_2$) и расстояние от центра сферы до плоскости сечения ($d_1$ или $d_2$).

По теореме Пифагора можно составить систему уравнений:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2 \implies R^2 = d_1^2 + 9^2 = d_1^2 + 81$
$R^2 = d_2^2 + r_2^2 \implies R^2 = d_2^2 + 12^2 = d_2^2 + 144$

Приравнивая правые части уравнений, получаем:
$d_1^2 + 81 = d_2^2 + 144$
$d_1^2 - d_2^2 = 144 - 81$
$d_1^2 - d_2^2 = 63$

По условию, расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Существует два возможных случая расположения этих плоскостей относительно центра сферы.

Случай 1: Секущие плоскости находятся по одну сторону от центра сферы

В этом случае расстояние между плоскостями равно разности расстояний от центра до каждой из них. Из соотношения $d_1^2 - d_2^2 = 63$ следует, что $d_1^2 > d_2^2$, а так как расстояния положительны, то $d_1 > d_2$. Таким образом, расстояние между плоскостями равно $h = d_1 - d_2 = 3$ см.
Получаем систему уравнений:
$d_1 - d_2 = 3$
$d_1^2 - d_2^2 = 63$
Воспользуемся формулой разности квадратов для второго уравнения: $(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 63$.
Подставим известное значение $d_1 - d_2 = 3$:
$3(d_1 + d_2) = 63$
$d_1 + d_2 = 21$
Теперь решим систему линейных уравнений:
$d_1 - d_2 = 3$
$d_1 + d_2 = 21$
Сложив эти два уравнения, получим: $2d_1 = 24$, откуда $d_1 = 12$ см.
Вычтя первое уравнение из второго, получим: $2d_2 = 18$, откуда $d_2 = 9$ см.
Теперь можем найти квадрат радиуса сферы $R^2$, подставив $d_1$ или $d_2$ в исходные уравнения:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
$R^2 = d_2^2 + r_2^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
Результаты совпадают, значит, этот случай является верным решением. Квадрат радиуса сферы $R^2 = 225$, а радиус $R = \sqrt{225} = 15$ см.

Случай 2: Секущие плоскости находятся по разные стороны от центра сферы

В этом случае расстояние между плоскостями равно сумме расстояний от центра до каждой из них: $h = d_1 + d_2 = 3$ см.
Получаем систему уравнений:
$d_1 + d_2 = 3$
$d_1^2 - d_2^2 = 63$
Раскладывая второе уравнение на множители, имеем $(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 63$.
Подставим известное значение $d_1 + d_2 = 3$:
$(d_1 - d_2) \cdot 3 = 63$
$d_1 - d_2 = 21$
Теперь решим систему:
$d_1 + d_2 = 3$
$d_1 - d_2 = 21$
Сложив уравнения, получим: $2d_1 = 24$, откуда $d_1 = 12$ см.
Подставляя $d_1 = 12$ в первое уравнение, имеем: $12 + d_2 = 3$, откуда $d_2 = -9$ см.
Расстояние не может быть отрицательной величиной, следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, существует единственно возможный вариант расположения сечений, при котором радиус сферы $R = 15$ см.
Площадь поверхности сферы находится по формуле $S = 4\pi R^2$.
Подставим найденное значение $R^2 = 225$:
$S = 4\pi \cdot 225 = 900\pi$ см$^2$.

Ответ: $900\pi$ см$^2$.

394. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны r₁ и r₂. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $O$ — её центр. Площадь поверхности сферы, которую необходимо найти, вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса сферы $R$.

Сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть даны два сечения с радиусами $r_1$ и $r_2$. Эти сечения образованы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, назовем их $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Пусть $h_1$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_1$, а $h_2$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_2$. Для каждого сечения существует связь между радиусом сферы $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $h$ от центра сферы до плоскости сечения, которая выражается теоремой Пифагора: $R^2 = r^2 + h^2$. Для наших двух сечений мы можем записать:
$R^2 = r_1^2 + h_1^2$ (1)
$R^2 = r_2^2 + h_2^2$ (2)

Для нахождения связи между $h_1$, $h_2$, $r_1$ и $r_2$ воспользуемся условием, что сечения имеют единственную общую точку. Введем декартову систему координат с началом в центре сферы $O$. Поскольку плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ взаимно перпендикулярны, мы можем сориентировать оси координат так, чтобы их нормали были параллельны осям. Пусть плоскость $\alpha_1$ перпендикулярна оси $Oz$, а плоскость $\alpha_2$ — оси $Oy$. Тогда их уравнения можно записать как $z = h_1$ и $y = h_2$.

Центр первого сечения (окружности $C_1$) — это точка $O_1(0, 0, h_1)$. Центр второго сечения (окружности $C_2$) — это точка $O_2(0, h_2, 0)$. Пусть $P(x_P, y_P, z_P)$ — единственная общая точка этих двух сечений. Поскольку точка $P$ лежит в обеих плоскостях, её координаты должны удовлетворять их уравнениям:
$z_P = h_1$
$y_P = h_2$
Таким образом, координаты общей точки имеют вид $P(x_P, h_2, h_1)$.

Точка $P$ также лежит на обеих окружностях.
1. Расстояние от точки $P$ до центра первой окружности $O_1$ равно её радиусу $r_1$: $O_1P^2 = (x_P - 0)^2 + (h_2 - 0)^2 + (h_1 - h_1)^2 = x_P^2 + h_2^2$. Следовательно, $r_1^2 = x_P^2 + h_2^2$.
2. Расстояние от точки $P$ до центра второй окружности $O_2$ равно её радиусу $r_2$: $O_2P^2 = (x_P - 0)^2 + (h_2 - h_2)^2 + (h_1 - 0)^2 = x_P^2 + h_1^2$. Следовательно, $r_2^2 = x_P^2 + h_1^2$.

Из этих двух соотношений мы можем выразить $x_P^2$:
$x_P^2 = r_1^2 - h_2^2$
$x_P^2 = r_2^2 - h_1^2$

По условию задачи, сечения имеют только одну общую точку. Это означает, что система уравнений для координат $(x_P, y_P, z_P)$ должна иметь единственное решение. Мы уже определили, что $y_P = h_2$ и $z_P = h_1$. Для координаты $x_P$ мы получили уравнение вида $x_P^2 = K$. Такое уравнение имеет единственное решение ($x_P=0$) только если $K=0$. Если бы $K>0$, мы бы получили два решения ($x_P = \pm\sqrt{K}$), что соответствовало бы двум общим точкам.

Таким образом, $x_P^2 = 0$, из чего следует:
$r_1^2 - h_2^2 = 0 \implies h_2^2 = r_1^2$
$r_2^2 - h_1^2 = 0 \implies h_1^2 = r_2^2$

Теперь мы можем найти квадрат радиуса сферы $R^2$. Подставим $h_1^2 = r_2^2$ в уравнение (1):
$R^2 = r_1^2 + h_1^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Наконец, вычисляем площадь поверхности сферы:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi (r_1^2 + r_2^2)$.

Ответ: $4\pi (r_1^2 + r_2^2)$.

395. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.

Для доказательства этого утверждения необходимо найти выражения для площади полной поверхности цилиндра и площади сферы, а затем сравнить их.

Пусть сторона квадрата равна $a$.

Найдем площадь полной поверхности цилиндра.

При вращении квадрата вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Радиус основания этого цилиндра $r$ будет равен стороне квадрата, то есть $r = a$. Высота цилиндра $h$ также будет равна стороне квадрата: $h = a$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил}$ равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей оснований ($2S_{осн}$).

Формула полной поверхности цилиндра: $S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2$.

Подставим в эту формулу значения $r = a$ и $h = a$:

$S_{цил} = 2\pi(a)(a) + 2\pi(a^2) = 2\pi a^2 + 2\pi a^2 = 4\pi a^2$.

Найдем площадь сферы.

По условию, радиус сферы $R$ равен стороне квадрата, то есть $R = a$.

Площадь поверхности сферы $S_{сферы}$ вычисляется по формуле: $S_{сферы} = 4\pi R^2$.

Подставим в эту формулу значение $R = a$:

$S_{сферы} = 4\pi a^2$.

Сравнение площадей.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что площадь полной поверхности цилиндра $S_{цил} = 4\pi a^2$ и площадь сферы $S_{сферы} = 4\pi a^2$ равны.

Следовательно, $S_{цил} = S_{сферы}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь полной поверхности цилиндра ($4\pi a^2$) равна площади сферы ($4\pi a^2$), где $a$ - сторона квадрата, являющаяся радиусом и высотой цилиндра, а также радиусом сферы.

1. Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра?

Чтобы определить угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через его образующую, необходимо рассмотреть геометрические свойства этих объектов.

По определению, в прямом круговом цилиндре (именно такой тип цилиндра обычно рассматривается в задачах, если не указано иное) образующая представляет собой отрезок, соединяющий окружности оснований, и она всегда перпендикулярна плоскостям этих оснований.

Обозначим плоскость основания цилиндра как $\alpha$, а одну из его образующих — как прямую $l$. Согласно определению прямого цилиндра, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Математически это записывается как $l \perp \alpha$.

Рассмотрим вторую плоскость, назовем ее $\beta$. По условию задачи, эта плоскость проходит через образующую $l$. Это означает, что прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то есть $l \subset \beta$.

Теперь нам нужно найти угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Для этого воспользуемся основным признаком перпендикулярности двух плоскостей, который гласит: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

В нашем случае все условия этого признака выполняются: плоскость $\beta$ проходит через прямую $l$, а сама прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны друг другу.

Угол между двумя перпендикулярными плоскостями по определению равен $90$ градусам.

Таким образом, искомый угол не зависит от того, как именно плоскость $\beta$ пересекает основание (является ли она касательной к цилиндрической поверхности или секущей), до тех пор, пока она содержит образующую.

Ответ: $90^\circ$

2. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Для ответа на вопрос необходимо рассмотреть геометрические свойства цилиндра и его сечений. Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными основаниями (кругами). Образующая цилиндра — это любой отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие параллельны друг другу и оси цилиндра, а их длина равна высоте цилиндра, которую можно обозначить как $H$.

Плоскость, параллельная образующей цилиндра, будет также параллельна и его оси. Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а расстояние от секущей плоскости до оси цилиндра равно $d$. В зависимости от положения этой плоскости относительно оси возможны следующие случаи.

Если плоскость пересекает цилиндр, проходя на расстоянии $d$ от его оси, причем $d < R$, то в сечении получается прямоугольник. Две его стороны являются отрезками образующих, и их длина равна высоте цилиндра $H$. Две другие стороны — это равные и параллельные хорды, которые плоскость отсекает от кругов в основаниях. Длина каждой такой хорды вычисляется по формуле $2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Частным, но важным случаем является осевое сечение. Оно получается, когда секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то есть $d = 0$. В этом случае сечение также является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $2R$.

Если плоскость касается боковой поверхности цилиндра, то есть проходит на расстоянии $d = R$ от оси, то сечение вырождается в отрезок прямой. Этот отрезок является одной из образующих цилиндра, и его длина равна высоте $H$.

Если же плоскость находится на расстоянии $d > R$ от оси, она не пересекает цилиндр, и сечение является пустым множеством.

Следовательно, любое непустое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, представляет собой прямоугольник (или отрезок как его вырожденный случай).

Ответ: Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, представляет собой прямоугольник. Если эта плоскость касается боковой поверхности цилиндра, то сечение вырождается в отрезок, который является образующей цилиндра.

3. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?

Пусть высота цилиндра равна $H$. Введем систему координат так, чтобы нижнее основание лежало в плоскости $z=0$, а верхнее — в плоскости $z=H$.

Пусть $c_1$ — хорда в нижнем основании, а $c_2$ — хорда в верхнем. Возьмем произвольную точку $A$ на хорде $c_1$ и произвольную точку $B$ на хорде $c_2$. Пусть их координаты $A(x_A, y_A, 0)$ и $B(x_B, y_B, H)$.

Квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (H - 0)^2 = d_{xy}^2 + H^2$ где $d_{xy}$ — это расстояние между проекциями точек $A$ и $B$ на одно из оснований.

Кратчайшее расстояние между точками этих хорд будет равно $d_{min} = \sqrt{d_{xy, min}^2 + H^2}$, где $d_{xy, min}$ — это кратчайшее расстояние между хордой $c_1$ и проекцией хорды $c_2$ на плоскость нижнего основания. Обозначим эту проекцию как $c'_2$. Хорды $c_1$ и $c_2$ не параллельны, следовательно, их проекции $c_1$ и $c'_2$ также не параллельны.

а) равным высоте цилиндра;

Кратчайшее расстояние может быть равным высоте цилиндра $H$, если $d_{min} = H$. Из формулы $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2$ следует, что для этого необходимо выполнение условия $d_{xy, min}^2 = 0$, то есть $d_{xy, min} = 0$.

Расстояние между двумя отрезками ($c_1$ и $c'_2$) в плоскости равно нулю тогда и только тогда, когда они имеют хотя бы одну общую точку, то есть пересекаются. Поскольку хорды $c_1$ и $c_2$ не параллельны, мы всегда можем расположить их так, чтобы их проекции на основание пересекались. Например, можно взять две пересекающиеся в центре основания диаметральные хорды, которые не параллельны друг другу (например, перпендикулярны).

Пример: пусть нижнее основание — круг $x^2+y^2 \le R^2$ в плоскости $z=0$, а верхнее — в плоскости $z=H$. Возьмем в качестве хорды $c_1$ диаметр, лежащий на оси Ox: от $(-R, 0, 0)$ до $(R, 0, 0)$. В качестве хорды $c_2$ возьмем диаметр в верхнем основании, лежащий на оси Oy: от $(0, -R, H)$ до $(0, R, H)$. Эти хорды не параллельны. Их проекции на плоскость $z=0$ пересекаются в точке $(0, 0, 0)$. Кратчайшее расстояние между хордами будет равно расстоянию между точкой $(0, 0, 0)$ на $c_1$ и точкой $(0, 0, H)$ на $c_2$, что равно $H$.

Ответ: да, может.

б) больше высоты цилиндра;

Кратчайшее расстояние может быть больше высоты цилиндра $H$, если $d_{min} > H$. Из формулы $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2$ следует, что для этого необходимо выполнение условия $d_{xy, min}^2 > 0$, то есть $d_{xy, min} > 0$.

Расстояние между двумя отрезками ($c_1$ и $c'_2$) в плоскости будет больше нуля, если они не пересекаются. Мы можем расположить непараллельные хорды так, чтобы их проекции не пересекались.

Пример: пусть основание цилиндра — круг $x^2+y^2 \le R^2$. Возьмем хорду $c_1$ в нижнем основании, соединяющую точки $(R, 0, 0)$ и $(0, R, 0)$. Возьмем хорду $c_2$ в верхнем основании, соединяющую точки $(-R, 0, H)$ и $(0, -R, H)$. Эти хорды не параллельны. Их проекции $c_1$ и $c'_2$ лежат на прямых $x+y=R$ и $x+y=-R$ соответственно. Они находятся в разных квадрантах и не пересекаются. Кратчайшее расстояние между ними $d_{xy, min}$ будет больше нуля. Следовательно, кратчайшее расстояние между исходными хордами $d_{min} = \sqrt{d_{xy, min}^2 + H^2}$ будет строго больше $H$.

Ответ: да, может.

в) меньше высоты цилиндра?

Кратчайшее расстояние не может быть меньше высоты цилиндра $H$. Рассмотрим формулу для квадрата кратчайшего расстояния: $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2$.

Величина $d_{xy, min}$ — это расстояние, поэтому $d_{xy, min} \ge 0$, и, следовательно, $d_{xy, min}^2 \ge 0$. Тогда $d_{min}^2 = d_{xy, min}^2 + H^2 \ge 0 + H^2 = H^2$. Поскольку расстояние $d_{min}$ — неотрицательная величина, из $d_{min}^2 \ge H^2$ следует, что $d_{min} \ge H$.

Таким образом, кратчайшее расстояние между точками этих хорд всегда не меньше высоты цилиндра. Оно может быть равно $H$ (пункт а) или больше $H$ (пункт б), но никогда не может быть меньше $H$.

Ответ: нет, не может.

4. Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус её основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?

Для решения задачи необходимо сравнить площади полной поверхности двух цилиндрических деталей. Количество расходуемого никеля прямо пропорционально площади поверхности, которую нужно покрыть, так как толщина слоя никеля одинакова для обеих деталей.

Обозначим радиус основания и высоту первой детали как $r_1$ и $h_1$, а второй детали — как $r_2$ и $h_2$.

Согласно условию задачи, высота первой детали в два раза больше высоты второй, то есть $h_1 = 2h_2$. Радиус основания первой детали в два раза меньше радиуса основания второй, то есть $r_1 = \frac{1}{2}r_2$ или, что эквивалентно, $r_2 = 2r_1$.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади боковой поверхности ($2\pi rh$) и площади двух оснований ($2\pi r^2$):

$S = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$

Найдем площадь полной поверхности для первой детали ($S_1$):

$S_1 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi r_1^2$

Найдем площадь полной поверхности для второй детали ($S_2$):

$S_2 = 2\pi r_2 h_2 + 2\pi r_2^2$

Чтобы сравнить эти две площади, выразим размеры второй детали ($r_2, h_2$) через размеры первой ($r_1, h_1$). Мы знаем, что $r_2 = 2r_1$ и $h_2 = \frac{h_1}{2}$. Подставим эти выражения в формулу для площади $S_2$:

$S_2 = 2\pi (2r_1) \left(\frac{h_1}{2}\right) + 2\pi (2r_1)^2$

Упростим полученное выражение:

$S_2 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi (4r_1^2) = 2\pi r_1 h_1 + 8\pi r_1^2$

Теперь сравним выражения для $S_1$ и $S_2$:

$S_1 = 2\pi r_1 h_1 + 2\pi r_1^2$

$S_2 = 2\pi r_1 h_1 + 8\pi r_1^2$

Оба выражения содержат одинаковый член $2\pi r_1 h_1$, который представляет собой площадь боковой поверхности. Можно заметить, что боковые поверхности у деталей равны: $S_{бок,2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi (2r_1)(\frac{h_1}{2}) = 2\pi r_1 h_1 = S_{бок,1}$.

Различие заключается во втором слагаемом, которое представляет площадь двух оснований. Для первой детали это $2\pi r_1^2$, а для второй — $8\pi r_1^2$.

Поскольку радиус $r_1$ является положительной величиной, очевидно, что $8\pi r_1^2 > 2\pi r_1^2$. Следовательно, $S_2 > S_1$.

Это означает, что площадь полной поверхности второй детали больше, чем у первой, и на ее покрытие потребуется больше никеля.

Ответ: Больше никеля расходуется на вторую деталь.

5. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью?

а) плоскостью основания: Да, все углы, образованные образующими конуса и плоскостью его основания, равны между собой.

Рассмотрим прямой круговой конус. Пусть $V$ — его вершина, $O$ — центр круга в основании, а $H$ — высота конуса, равная длине отрезка $VO$. Ось конуса $VO$ перпендикулярна плоскости основания.

Углом между наклонной (образующей) и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость.

Возьмем любую точку $P$ на окружности основания. Отрезок $VP$ является образующей конуса. Так как ось $VO$ перпендикулярна плоскости основания, то радиус $OP$ является проекцией образующей $VP$ на эту плоскость. Следовательно, угол между образующей $VP$ и плоскостью основания — это угол $\angle VPO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VPO$ (угол $\angle VOP = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $VO$ — это высота конуса $H$, а катет $OP$ — это радиус основания $R$.

Если мы выберем любую другую точку $Q$ на окружности основания, то получим другую образующую $VQ$ и другой прямоугольный треугольник $\triangle VQO$. В этом треугольнике катет $VO$ также равен высоте $H$, а катет $OQ$ — радиусу $R$.

Поскольку все такие прямоугольные треугольники, образованные осью, радиусом и образующей, имеют одинаковые катеты ($H$ и $R$), они все равны между собой по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Таким образом, угол $\angle VPO$ будет равен углу $\angle VQO$ для любых точек $P$ и $Q$ на окружности основания.

Ответ: Да, равны.

б) его осью: Да, все углы, образованные образующими конуса и его осью, равны между собой.

Снова рассмотрим прямой круговой конус с вершиной $V$, центром основания $O$ и осью $VO$. Пусть $VP$ — произвольная образующая. Угол между образующей $VP$ и осью $VO$ — это угол $\angle PVO$ внутри осевого сечения, которым является прямоугольный треугольник $\triangle VPO$.

Как было установлено в пункте а), все прямоугольные треугольники, образованные осью конуса, радиусом основания и образующей (например, $\triangle VPO$ и $\triangle VQO$), равны друг другу.

Из равенства этих треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, включая углы. Следовательно, угол $\angle PVO$ будет равен углу $\angle QVO$ для любых образующих $VP$ и $VQ$. Этот угол часто называют углом полураствора конуса, и он одинаков для всех образующих.

Ответ: Да, равны.

6. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, в общем случае представляет собой равнобедренный треугольник. В частном (вырожденном) случае, когда секущая плоскость касается конуса, сечением является его образующая.

Рассмотрим это утверждение подробнее. Пусть $S$ — вершина конуса, а секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $S$.

1. Случай, когда плоскость пересекает основание конуса.

Если плоскость $\alpha$ пересекает круглое основание конуса, то линией их пересечения будет хорда. Обозначим концы этой хорды как точки $A$ и $B$. Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через вершину $S$, она будет пересекать боковую поверхность конуса по двум отрезкам, соединяющим вершину с точками на окружности основания. Этими отрезками являются образующие $SA$ и $SB$. В результате в сечении образуется треугольник $\triangle SAB$. По определению конуса, все его образующие равны между собой, значит, $SA = SB$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Основанием этого треугольника служит хорда $AB$, а боковыми сторонами — образующие конуса.

Частный случай: если секущая плоскость проходит через ось конуса, такое сечение называется осевым. Хорда $AB$ в этом случае является диаметром основания, а сечение — по-прежнему равнобедренный треугольник.

2. Случай, когда плоскость касается конуса.

Если плоскость $\alpha$ имеет с конусом только одну общую образующую, она называется касательной плоскостью к конусу. В этом случае плоскость пересекает плоскость основания по прямой, которая касается окружности основания в одной точке (назовем ее $A$). Сечением конуса в этом случае является сама образующая $SA$. Этот случай можно рассматривать как вырожденный равнобедренный треугольник, у которого основание $AB$ "стянулось" в одну точку ($A=B$), и его длина равна нулю.

Ответ: Равнобедренный треугольник или, в случае касания, образующая конуса.

7. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка AB?

Да, любая точка отрезка AB принадлежит этому шару.

Это свойство является следствием того, что шар — это выпуклое геометрическое тело. Дадим развернутое объяснение.

По определению, шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$ представляет собой множество всех точек пространства, расстояние от которых до центра $O$ не превышает радиуса $R$. Таким образом, для любой точки $X$, которая принадлежит шару, справедливо неравенство $|OX| \le R$.

Из условия задачи нам известно, что точки $A$ и $B$ принадлежат шару. Это означает, что для них выполняются следующие условия:

$|OA| \le R$

$|OB| \le R$

Нам необходимо доказать, что любая точка $M$, находящаяся на отрезке $AB$, также принадлежит этому шару. То есть, для точки $M$ должно выполняться неравенство $|OM| \le R$.

Геометрическое доказательство (через свойство выпуклости):

Выпуклым множеством называется такое множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит и весь отрезок, их соединяющий. Шар является классическим примером выпуклого тела. Поскольку точки $A$ и $B$ по условию принадлежат шару, то по определению выпуклости и весь отрезок $AB$ целиком принадлежит этому шару.

Алгебраическое доказательство (с использованием векторов):

Пусть центр шара $O$ совпадает с началом координат. Любую точку $M$, лежащую на отрезке $AB$, можно представить с помощью векторного уравнения:

$\vec{OM} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$, где параметр $t$ изменяется в пределах от 0 до 1 ($0 \le t \le 1$).

Оценим расстояние от центра шара до точки $M$, то есть длину вектора $\vec{OM}$, применив неравенство треугольника ($|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$):

$|\vec{OM}| = |(1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}| \le |(1-t)\vec{OA}| + |t\vec{OB}|$

Так как $t$ находится в диапазоне $[0, 1]$, множители $(1-t)$ и $t$ являются неотрицательными. Следовательно, их можно вынести из-под знака модуля длины вектора:

$|\vec{OM}| \le (1-t)|\vec{OA}| + t|\vec{OB}|$

Теперь воспользуемся условиями, что точки $A$ и $B$ принадлежат шару ($|\vec{OA}| \le R$ и $|\vec{OB}| \le R$):

$|\vec{OM}| \le (1-t)R + tR$

Упростим правую часть выражения:

$(1-t)R + tR = R - tR + tR = R$

Таким образом, мы доказали, что для любой точки $M$ на отрезке $AB$ выполняется неравенство $|\vec{OM}| \le R$. Это по определению означает, что любая точка отрезка $AB$ принадлежит шару.

Ответ: Да, принадлежит.