Номер 2, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Для ответа на вопрос необходимо рассмотреть геометрические свойства цилиндра и его сечений. Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными основаниями (кругами). Образующая цилиндра — это любой отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие параллельны друг другу и оси цилиндра, а их длина равна высоте цилиндра, которую можно обозначить как $H$.

Плоскость, параллельная образующей цилиндра, будет также параллельна и его оси. Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а расстояние от секущей плоскости до оси цилиндра равно $d$. В зависимости от положения этой плоскости относительно оси возможны следующие случаи.

Если плоскость пересекает цилиндр, проходя на расстоянии $d$ от его оси, причем $d < R$, то в сечении получается прямоугольник. Две его стороны являются отрезками образующих, и их длина равна высоте цилиндра $H$. Две другие стороны — это равные и параллельные хорды, которые плоскость отсекает от кругов в основаниях. Длина каждой такой хорды вычисляется по формуле $2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Частным, но важным случаем является осевое сечение. Оно получается, когда секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то есть $d = 0$. В этом случае сечение также является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $2R$.

Если плоскость касается боковой поверхности цилиндра, то есть проходит на расстоянии $d = R$ от оси, то сечение вырождается в отрезок прямой. Этот отрезок является одной из образующих цилиндра, и его длина равна высоте $H$.

Если же плоскость находится на расстоянии $d > R$ от оси, она не пересекает цилиндр, и сечение является пустым множеством.

Следовательно, любое непустое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, представляет собой прямоугольник (или отрезок как его вырожденный случай).

Ответ: Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, представляет собой прямоугольник. Если эта плоскость касается боковой поверхности цилиндра, то сечение вырождается в отрезок, который является образующей цилиндра.