Номер 5, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

5. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью?

а) плоскостью основания: Да, все углы, образованные образующими конуса и плоскостью его основания, равны между собой.

Рассмотрим прямой круговой конус. Пусть $V$ — его вершина, $O$ — центр круга в основании, а $H$ — высота конуса, равная длине отрезка $VO$. Ось конуса $VO$ перпендикулярна плоскости основания.

Углом между наклонной (образующей) и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость.

Возьмем любую точку $P$ на окружности основания. Отрезок $VP$ является образующей конуса. Так как ось $VO$ перпендикулярна плоскости основания, то радиус $OP$ является проекцией образующей $VP$ на эту плоскость. Следовательно, угол между образующей $VP$ и плоскостью основания — это угол $\angle VPO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VPO$ (угол $\angle VOP = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $VO$ — это высота конуса $H$, а катет $OP$ — это радиус основания $R$.

Если мы выберем любую другую точку $Q$ на окружности основания, то получим другую образующую $VQ$ и другой прямоугольный треугольник $\triangle VQO$. В этом треугольнике катет $VO$ также равен высоте $H$, а катет $OQ$ — радиусу $R$.

Поскольку все такие прямоугольные треугольники, образованные осью, радиусом и образующей, имеют одинаковые катеты ($H$ и $R$), они все равны между собой по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Таким образом, угол $\angle VPO$ будет равен углу $\angle VQO$ для любых точек $P$ и $Q$ на окружности основания.

Ответ: Да, равны.

б) его осью: Да, все углы, образованные образующими конуса и его осью, равны между собой.

Снова рассмотрим прямой круговой конус с вершиной $V$, центром основания $O$ и осью $VO$. Пусть $VP$ — произвольная образующая. Угол между образующей $VP$ и осью $VO$ — это угол $\angle PVO$ внутри осевого сечения, которым является прямоугольный треугольник $\triangle VPO$.

Как было установлено в пункте а), все прямоугольные треугольники, образованные осью конуса, радиусом основания и образующей (например, $\triangle VPO$ и $\triangle VQO$), равны друг другу.

Из равенства этих треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, включая углы. Следовательно, угол $\angle PVO$ будет равен углу $\angle QVO$ для любых образующих $VP$ и $VQ$. Этот угол часто называют углом полураствора конуса, и он одинаков для всех образующих.

Ответ: Да, равны.