Номер 394, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

394. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны r₁ и r₂. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $O$ — её центр. Площадь поверхности сферы, которую необходимо найти, вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса сферы $R$.

Сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть даны два сечения с радиусами $r_1$ и $r_2$. Эти сечения образованы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, назовем их $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Пусть $h_1$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_1$, а $h_2$ — расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_2$. Для каждого сечения существует связь между радиусом сферы $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $h$ от центра сферы до плоскости сечения, которая выражается теоремой Пифагора: $R^2 = r^2 + h^2$. Для наших двух сечений мы можем записать:
$R^2 = r_1^2 + h_1^2$ (1)
$R^2 = r_2^2 + h_2^2$ (2)

Для нахождения связи между $h_1$, $h_2$, $r_1$ и $r_2$ воспользуемся условием, что сечения имеют единственную общую точку. Введем декартову систему координат с началом в центре сферы $O$. Поскольку плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$ взаимно перпендикулярны, мы можем сориентировать оси координат так, чтобы их нормали были параллельны осям. Пусть плоскость $\alpha_1$ перпендикулярна оси $Oz$, а плоскость $\alpha_2$ — оси $Oy$. Тогда их уравнения можно записать как $z = h_1$ и $y = h_2$.

Центр первого сечения (окружности $C_1$) — это точка $O_1(0, 0, h_1)$. Центр второго сечения (окружности $C_2$) — это точка $O_2(0, h_2, 0)$. Пусть $P(x_P, y_P, z_P)$ — единственная общая точка этих двух сечений. Поскольку точка $P$ лежит в обеих плоскостях, её координаты должны удовлетворять их уравнениям:
$z_P = h_1$
$y_P = h_2$
Таким образом, координаты общей точки имеют вид $P(x_P, h_2, h_1)$.

Точка $P$ также лежит на обеих окружностях.
1. Расстояние от точки $P$ до центра первой окружности $O_1$ равно её радиусу $r_1$: $O_1P^2 = (x_P - 0)^2 + (h_2 - 0)^2 + (h_1 - h_1)^2 = x_P^2 + h_2^2$. Следовательно, $r_1^2 = x_P^2 + h_2^2$.
2. Расстояние от точки $P$ до центра второй окружности $O_2$ равно её радиусу $r_2$: $O_2P^2 = (x_P - 0)^2 + (h_2 - h_2)^2 + (h_1 - 0)^2 = x_P^2 + h_1^2$. Следовательно, $r_2^2 = x_P^2 + h_1^2$.

Из этих двух соотношений мы можем выразить $x_P^2$:
$x_P^2 = r_1^2 - h_2^2$
$x_P^2 = r_2^2 - h_1^2$

По условию задачи, сечения имеют только одну общую точку. Это означает, что система уравнений для координат $(x_P, y_P, z_P)$ должна иметь единственное решение. Мы уже определили, что $y_P = h_2$ и $z_P = h_1$. Для координаты $x_P$ мы получили уравнение вида $x_P^2 = K$. Такое уравнение имеет единственное решение ($x_P=0$) только если $K=0$. Если бы $K>0$, мы бы получили два решения ($x_P = \pm\sqrt{K}$), что соответствовало бы двум общим точкам.

Таким образом, $x_P^2 = 0$, из чего следует:
$r_1^2 - h_2^2 = 0 \implies h_2^2 = r_1^2$
$r_2^2 - h_1^2 = 0 \implies h_1^2 = r_2^2$

Теперь мы можем найти квадрат радиуса сферы $R^2$. Подставим $h_1^2 = r_2^2$ в уравнение (1):
$R^2 = r_1^2 + h_1^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Наконец, вычисляем площадь поверхности сферы:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi (r_1^2 + r_2^2)$.

Ответ: $4\pi (r_1^2 + r_2^2)$.