Номер 393, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

393. Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $O$ — её центр. Сечения сферы плоскостями являются кругами. Обозначим радиусы этих кругов как $r_1 = 9$ см и $r_2 = 12$ см.

Рассмотрим осевое сечение сферы, которое проходит через её центр и перпендикулярно двум параллельным секущим плоскостям. В этом сечении сфера будет выглядеть как большая окружность радиуса $R$, а сечения — как две параллельные хорды.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — это расстояния от центра сферы $O$ до плоскостей сечений с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. Для каждого сечения образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус сферы $R$, а катетами — радиус сечения ($r_1$ или $r_2$) и расстояние от центра сферы до плоскости сечения ($d_1$ или $d_2$).

По теореме Пифагора можно составить систему уравнений:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2 \implies R^2 = d_1^2 + 9^2 = d_1^2 + 81$
$R^2 = d_2^2 + r_2^2 \implies R^2 = d_2^2 + 12^2 = d_2^2 + 144$

Приравнивая правые части уравнений, получаем:
$d_1^2 + 81 = d_2^2 + 144$
$d_1^2 - d_2^2 = 144 - 81$
$d_1^2 - d_2^2 = 63$

По условию, расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Существует два возможных случая расположения этих плоскостей относительно центра сферы.

Случай 1: Секущие плоскости находятся по одну сторону от центра сферы

В этом случае расстояние между плоскостями равно разности расстояний от центра до каждой из них. Из соотношения $d_1^2 - d_2^2 = 63$ следует, что $d_1^2 > d_2^2$, а так как расстояния положительны, то $d_1 > d_2$. Таким образом, расстояние между плоскостями равно $h = d_1 - d_2 = 3$ см.
Получаем систему уравнений:
$d_1 - d_2 = 3$
$d_1^2 - d_2^2 = 63$
Воспользуемся формулой разности квадратов для второго уравнения: $(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 63$.
Подставим известное значение $d_1 - d_2 = 3$:
$3(d_1 + d_2) = 63$
$d_1 + d_2 = 21$
Теперь решим систему линейных уравнений:
$d_1 - d_2 = 3$
$d_1 + d_2 = 21$
Сложив эти два уравнения, получим: $2d_1 = 24$, откуда $d_1 = 12$ см.
Вычтя первое уравнение из второго, получим: $2d_2 = 18$, откуда $d_2 = 9$ см.
Теперь можем найти квадрат радиуса сферы $R^2$, подставив $d_1$ или $d_2$ в исходные уравнения:
$R^2 = d_1^2 + r_1^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
$R^2 = d_2^2 + r_2^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
Результаты совпадают, значит, этот случай является верным решением. Квадрат радиуса сферы $R^2 = 225$, а радиус $R = \sqrt{225} = 15$ см.

Случай 2: Секущие плоскости находятся по разные стороны от центра сферы

В этом случае расстояние между плоскостями равно сумме расстояний от центра до каждой из них: $h = d_1 + d_2 = 3$ см.
Получаем систему уравнений:
$d_1 + d_2 = 3$
$d_1^2 - d_2^2 = 63$
Раскладывая второе уравнение на множители, имеем $(d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 63$.
Подставим известное значение $d_1 + d_2 = 3$:
$(d_1 - d_2) \cdot 3 = 63$
$d_1 - d_2 = 21$
Теперь решим систему:
$d_1 + d_2 = 3$
$d_1 - d_2 = 21$
Сложив уравнения, получим: $2d_1 = 24$, откуда $d_1 = 12$ см.
Подставляя $d_1 = 12$ в первое уравнение, имеем: $12 + d_2 = 3$, откуда $d_2 = -9$ см.
Расстояние не может быть отрицательной величиной, следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, существует единственно возможный вариант расположения сечений, при котором радиус сферы $R = 15$ см.
Площадь поверхности сферы находится по формуле $S = 4\pi R^2$.
Подставим найденное значение $R^2 = 225$:
$S = 4\pi \cdot 225 = 900\pi$ см$^2$.

Ответ: $900\pi$ см$^2$.