Номер 386, страница 111 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

386. Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Двугранный угол образован двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $l$ (ребро двугранного угла). Величина угла составляет $120^\circ$. Сфера касается плоскостей $\alpha$ и $\beta$ в точках $A$ и $B$ соответственно. По условию, расстояние от центра сферы $O$ до ребра $l$ равно $a$.

Для решения задачи рассмотрим сечение, проходящее через центр сферы $O$ и перпендикулярное ребру $l$. В этом сечении 3D-задача сводится к 2D-задаче:

• Ребро $l$ проектируется в точку $C$.
• Грани двугранного угла ($\alpha$ и $\beta$) проектируются в лучи, выходящие из точки $C$ под углом $\angle ACB = 120^\circ$.
• Сфера проектируется в большой круг с центром $O$ и радиусом $R$, вписанный в этот угол.
• Точки касания $A$ и $B$ лежат в плоскости сечения, при этом радиусы, проведенные к ним, перпендикулярны сторонам угла: $OA \perp CA$ и $OB \perp CB$.
• Расстояние от центра $O$ до ребра $l$ — это длина отрезка $OC$, то есть $OC = a$.

Требуется найти радиус $R$ и расстояние $AB$.

Рассмотрим полученную в сечении геометрическую фигуру. Так как точка $O$ равноудалена от сторон угла $\angle ACB$ (расстояния равны радиусу $R$), она лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, биссектриса $OC$ делит угол $\angle ACB$ на два равных угла:

$\angle OCA = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$ (угол $\angle OAC = 90^\circ$, так как радиус перпендикулярен касательной). В этом треугольнике:

• гипотенуза $OC = a$;
• катет $OA = R$;
• угол $\angle OCA = 60^\circ$.

Используя тригонометрическое соотношение для синуса угла, получаем:

$\sin(\angle OCA) = \frac{OA}{OC}$

$\sin(60^\circ) = \frac{R}{a}$

Отсюда выражаем радиус $R$:

$R = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: радиус сферы равен $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем расстояние между точками касания $A$ и $B$, то есть длину хорды $AB$. Для этого рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Нам известны три угла:

• $\angle OAC = 90^\circ$ (свойство касательной);
• $\angle OBC = 90^\circ$ (свойство касательной);
• $\angle ACB = 120^\circ$ (по условию).

Найдем четвертый угол $\angle AOB$:

$\angle AOB = 360^\circ - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Этот треугольник является равнобедренным, так как его стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу сферы $R$. Угол между этими равными сторонами, как мы нашли, равен $\angle AOB = 60^\circ$.

Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны:

$AB = OA = OB = R$

Подставив найденное ранее значение для $R$, получаем:

$AB = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: расстояние между точками касания равно $a \frac{\sqrt{3}}{2}$.