Номер 379, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

379. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см.

Пусть O — центр сферы, R — ее радиус ($R = 5$ см), а плоскость треугольника ABC обозначим как $\alpha$. Искомое расстояние от центра сферы до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $d$, опущенного из точки O на плоскость $\alpha$. Пусть O' — основание этого перпендикуляра, тогда $d = OO'$.

Поскольку все стороны треугольника $ABC$ касаются сферы, то точки касания лежат на сфере. Пусть $K$, $L$, $M$ — точки касания сферы со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Отрезки $OK$, $OL$, $OM$ являются радиусами сферы, проведенными в точки касания, и их длина равна $R = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OO'K$, $\triangle OO'L$ и $\triangle OO'M$. У них общий катет $OO' = d$. Гипотенузы этих треугольников равны радиусу сферы: $OK = OL = OM = R = 5$ см. По теореме Пифагора для этих треугольников: $O'K^2 = OK^2 - OO'^2 = R^2 - d^2$ $O'L^2 = OL^2 - OO'^2 = R^2 - d^2$ $O'M^2 = OM^2 - OO'^2 = R^2 - d^2$

Из этих равенств следует, что $O'K = O'L = O'M$. Точка O' в плоскости треугольника равноудалена от его сторон. Это означает, что O' является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояние от O' до сторон треугольника ($O'K$, $O'L$, $O'M$) является радиусом этой вписанной окружности, который мы обозначим как $r$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это радиус сферы $R$, один катет — это искомое расстояние $d$, а другой катет — это радиус вписанной в треугольник окружности $r$. Их связывает соотношение: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для нахождения $d$ нам необходимо сначала вычислить $r$. Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Стороны треугольника равны $a = 14$ см, $b = 15$ см, $c = 13$ см. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 84$ см?.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см.

Наконец, находим искомое расстояние $d$ из формулы $d^2 = R^2 - r^2$: $d^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ $d = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.