Номер 373, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

373. Точка М — середина отрезка AB, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, AB = 40 см; б) ОМ, если R = 15 мм, AB = 18 мм; в) AB, если R = 10 дм, ОМ = 60 см; г) AM, если R = a, ОМ = b.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на сфере с центром $O$, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами сферы. Следовательно, $OA = OB = R$, и треугольник $OAB$ — равнобедренный с основанием $AB$. Точка $M$ — середина отрезка $AB$, значит, $OM$ — медиана треугольника $OAB$, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Таким образом, $OM \perp AB$, и треугольник $OMA$ — прямоугольный с гипотенузой $OA=R$ и катетами $OM$ и $AM$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OMA$ имеем: $OA^2 = OM^2 + AM^2$. Так как $M$ — середина $AB$, то $AM = \frac{AB}{2}$. Основная формула для решения задачи: $R^2 = OM^2 + AM^2$.

а) Дано: $R = 50 \text{ см}$, $AB = 40 \text{ см}$.
Найдем половину длины отрезка $AB$: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}$.
Подставим известные значения в теорему Пифагора для треугольника $OMA$: $R^2 = OM^2 + AM^2$.
$50^2 = OM^2 + 20^2$
$2500 = OM^2 + 400$
$OM^2 = 2500 - 400 = 2100$
$OM = \sqrt{2100} = \sqrt{100 \cdot 21} = 10\sqrt{21} \text{ см}$.
Ответ: $10\sqrt{21}$ см.

б) Дано: $R = 15 \text{ мм}$, $AB = 18 \text{ мм}$.
Найдем половину длины отрезка $AB$: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ мм}$.
Подставим известные значения в формулу $R^2 = OM^2 + AM^2$:
$15^2 = OM^2 + 9^2$
$225 = OM^2 + 81$
$OM^2 = 225 - 81 = 144$
$OM = \sqrt{144} = 12 \text{ мм}$.
Ответ: 12 мм.

в) Дано: $R = 10 \text{ дм}$, $OM = 60 \text{ см}$.
Сначала приведем все величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.
$R = 10 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}$.
Теперь используем формулу $R^2 = OM^2 + AM^2$ для нахождения $AM$:
$100^2 = 60^2 + AM^2$
$10000 = 3600 + AM^2$
$AM^2 = 10000 - 3600 = 6400$
$AM = \sqrt{6400} = 80 \text{ см}$.
Так как $M$ — середина $AB$, то $AB = 2 \cdot AM$.
$AB = 2 \cdot 80 = 160 \text{ см}$. Можно также выразить ответ в дециметрах: $160 \text{ см} = 16 \text{ дм}$.
Ответ: 160 см (или 16 дм).

г) Дано: $R = a$, $OM = b$.
Используем общую формулу, выведенную из теоремы Пифагора для треугольника $OMA$: $R^2 = OM^2 + AM^2$.
Подставим данные значения:
$a^2 = b^2 + AM^2$
Выразим $AM^2$ из этого уравнения:
$AM^2 = a^2 - b^2$
Тогда $AM$ равно квадратному корню из этого выражения:
$AM = \sqrt{a^2 - b^2}$.
Это выражение имеет смысл, только если $a^2 - b^2 \ge 0$, то есть $a \ge b$, что соответствует геометрическому смыслу задачи (расстояние от центра до хорды не может быть больше радиуса).
Ответ: $\sqrt{a^2 - b^2}$.