Номер 368, страница 100 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Конус. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 368, страница 100.

Условие.

368. Радиусы оснований усечённого конуса равны R и r, где R > r, а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, то есть их длины равны $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей усечённого конуса.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

В нашем случае основания трапеции равны $2R$ и $2r$. Тогда формула площади осевого сечения примет вид:

$S = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

Теперь найдем высоту $h$ усечённого конуса. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота $h$, образующая и отрезок на большем основании, равный разности радиусов $R-r$. В этом треугольнике:

• один катет — это высота усечённого конуса $h$;
• второй катет — это разность радиусов оснований, $R-r$;
• гипотенуза — это образующая усечённого конуса.

Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $45°$. Этот угол является углом при основании в данном прямоугольном треугольнике.

Поскольку в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45°$, то и второй острый угол также равен $90° - 45° = 45°$. Это означает, что треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Следовательно, высота усечённого конуса $h$ равна разности радиусов его оснований:

$h = R-r$

Подставим найденное значение высоты $h$ в формулу площади осевого сечения:

$S = (R+r) \cdot (R-r)$

Применяя формулу разности квадратов, получаем окончательный результат:

$S = R^2 - r^2$

Ответ: $R^2 - r^2$.