Номер 369, страница 100 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Конус. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 369, страница 100.

Условие.

369. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см². Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усечённого конуса.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим площадь боковой поверхности исходного конуса как $S_{исх}$, его высоту как $H$, радиус основания как $R$, а образующую как $L$. По условию задачи, $S_{исх} = 80$ см?.

Формула площади боковой поверхности конуса: $S = \pi R L$.

Плоскость, проведённая через середину высоты конуса и перпендикулярная ей, отсекает от исходного конуса меньший конус, вершина которого совпадает с вершиной исходного конуса. Этот малый конус подобен исходному. Оставшаяся нижняя часть является усечённым конусом.

Коэффициент подобия $k$ малого конуса к исходному равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, высот. Высота малого конуса $H_{малый}$ по условию равна половине высоты исходного конуса $H$:

$H_{малый} = \frac{H}{2}$

Следовательно, коэффициент подобия равен:

$k = \frac{H_{малый}}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Таким образом, отношение площади боковой поверхности малого конуса $S_{малый}$ к площади боковой поверхности исходного конуса $S_{исх}$ равно $k^2$:

$\frac{S_{малый}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности малого (отсечённого) конуса:

$S_{малый} = \frac{1}{4} S_{исх} = \frac{1}{4} \times 80 = 20$ см?.

Площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса $S_{усеч}$ находится как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и малого конуса, который был отсечён:

$S_{усеч} = S_{исх} - S_{малый}$

Подставляя известные значения, получаем:

$S_{усеч} = 80 - 20 = 60$ см?.

Ответ: 60 см?.