Страница 100 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

368. Радиусы оснований усечённого конуса равны R и r, где R > r, а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, то есть их длины равны $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей усечённого конуса.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

В нашем случае основания трапеции равны $2R$ и $2r$. Тогда формула площади осевого сечения примет вид:

$S = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

Теперь найдем высоту $h$ усечённого конуса. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота $h$, образующая и отрезок на большем основании, равный разности радиусов $R-r$. В этом треугольнике:

• один катет — это высота усечённого конуса $h$;
• второй катет — это разность радиусов оснований, $R-r$;
• гипотенуза — это образующая усечённого конуса.

Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $45°$. Этот угол является углом при основании в данном прямоугольном треугольнике.

Поскольку в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45°$, то и второй острый угол также равен $90° - 45° = 45°$. Это означает, что треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Следовательно, высота усечённого конуса $h$ равна разности радиусов его оснований:

$h = R-r$

Подставим найденное значение высоты $h$ в формулу площади осевого сечения:

$S = (R+r) \cdot (R-r)$

Применяя формулу разности квадратов, получаем окончательный результат:

$S = R^2 - r^2$

Ответ: $R^2 - r^2$.

369. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см². Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усечённого конуса.

Обозначим площадь боковой поверхности исходного конуса как $S_{исх}$, его высоту как $H$, радиус основания как $R$, а образующую как $L$. По условию задачи, $S_{исх} = 80$ см?.

Формула площади боковой поверхности конуса: $S = \pi R L$.

Плоскость, проведённая через середину высоты конуса и перпендикулярная ей, отсекает от исходного конуса меньший конус, вершина которого совпадает с вершиной исходного конуса. Этот малый конус подобен исходному. Оставшаяся нижняя часть является усечённым конусом.

Коэффициент подобия $k$ малого конуса к исходному равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, высот. Высота малого конуса $H_{малый}$ по условию равна половине высоты исходного конуса $H$:

$H_{малый} = \frac{H}{2}$

Следовательно, коэффициент подобия равен:

$k = \frac{H_{малый}}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Таким образом, отношение площади боковой поверхности малого конуса $S_{малый}$ к площади боковой поверхности исходного конуса $S_{исх}$ равно $k^2$:

$\frac{S_{малый}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности малого (отсечённого) конуса:

$S_{малый} = \frac{1}{4} S_{исх} = \frac{1}{4} \times 80 = 20$ см?.

Площадь боковой поверхности образовавшегося усечённого конуса $S_{усеч}$ находится как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и малого конуса, который был отсечён:

$S_{усеч} = S_{исх} - S_{малый}$

Подставляя известные значения, получаем:

$S_{усеч} = 80 - 20 = 60$ см?.

Ответ: 60 см?.

370. Дана трапеция ABCD, в которой ∠A = 90°, ∠D = 45°, BC = 4 см, CD = 32 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны AB.

При вращении прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны AB, которая является ее высотой (так как $\angle A = 90^\circ$), образуется усеченный конус.

Параметры этого усеченного конуса определяются сторонами трапеции:

• Радиус верхнего, меньшего основания конуса, $r$, равен длине верхнего основания трапеции BC, то есть $r = 4$ см.
• Образующая конуса, $l$, равна длине боковой стороны CD, то есть $l = 3\sqrt{2}$ см.
• Высота конуса, $h$, равна высоте трапеции AB.
• Радиус нижнего, большего основания конуса, $R$, равен длине нижнего основания трапеции AD.

Для вычисления площадей нам необходимо найти радиус нижнего основания $R=AD$ и высоту конуса $h=AB$.

Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Так как трапеция ABCD прямоугольная с $\angle A = 90^\circ$, то AB перпендикулярна AD. Следовательно, фигура ABCH является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AB$ и $AH = BC = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. В нем гипотенуза $CD = 3\sqrt{2}$ см и прилежащий к ней угол $\angle D = 45^\circ$.

Найдем катеты CH и HD. Так как $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.
$HD = CD \cdot \cos(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые параметры усеченного конуса:

• Высота конуса: $h = AB = CH = 3$ см.
• Радиус нижнего основания: $R = AD = AH + HD = 4 + 3 = 7$ см.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (R + r) l$

Подставим известные значения: $S_{бок} = \pi (7 + 4) \cdot 3\sqrt{2} = \pi \cdot 11 \cdot 3\sqrt{2} = 33\sqrt{2}\pi$ см².

Ответ: $33\sqrt{2}\pi$ см².

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего): $S_{полн} = S_{бок} + S_{верхн} + S_{нижн}$

Площадь верхнего основания (круга с радиусом $r=4$ см): $S_{верхн} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

Площадь нижнего основания (круга с радиусом $R=7$ см): $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi \cdot 7^2 = 49\pi$ см².

Теперь найдем полную площадь: $S_{полн} = 33\sqrt{2}\pi + 16\pi + 49\pi = (33\sqrt{2} + 65)\pi$ см².

Ответ: $(65 + 33\sqrt{2})\pi$ см².

371. Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких вёдер, если на 1 м² требуется 150 г краски? (Толщину стенок вёдер в расчёт не принимать.)

Для решения задачи необходимо найти общую площадь поверхности, которую нужно покрасить, а затем, зная расход краски, вычислить её массу.

Ведро имеет форму усечённого конуса, и его нужно покрасить с обеих сторон. Поверхность для покраски состоит из боковой поверхности и одного основания (дна). Поскольку по условию толщиной стенок ведра можно пренебречь, площади его внешней и внутренней поверхностей равны.

Сначала найдём площадь поверхности одного ведра.Исходные данные: радиус большего основания $R = 15$ см, радиус меньшего основания (дна) $r = 10$ см, и образующая $l = 30$ см.Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi(R + r)l = \pi(15 + 10) \cdot 30 = \pi \cdot 25 \cdot 30 = 750\pi \text{ см}^2$.Площадь дна ведра, которое является кругом с радиусом $r = 10$ см:$S_{дно} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \text{ см}^2$.Таким образом, площадь одной стороны ведра (внешней или внутренней) составляет:$S_{одна\_сторона} = S_{бок} + S_{дно} = 750\pi + 100\pi = 850\pi \text{ см}^2$.Полная площадь покраски одного ведра с обеих сторон:$S_{ведро} = 2 \cdot S_{одна\_сторона} = 2 \cdot 850\pi = 1700\pi \text{ см}^2$.

Далее найдём общую площадь для 100 вёдер.$S_{всего} = 100 \cdot S_{ведро} = 100 \cdot 1700\pi = 170000\pi \text{ см}^2$.

Теперь рассчитаем необходимое количество краски.Расход краски дан на 1 м?, поэтому переведём общую площадь в квадратные метры. Учитывая, что $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$:$S_{всего}(\text{м}^2) = \frac{170000\pi}{10000} = 17\pi \text{ м}^2$.Расход краски составляет 150 г на 1 м?. Необходимая масса краски в граммах:$m_{г} = S_{всего}(\text{м}^2) \cdot 150 = 17\pi \cdot 150 = 2550\pi \text{ г}$.Переведём массу в килограммы (в 1 кг содержится 1000 г):$m_{кг} = \frac{2550\pi}{1000} = 2,55\pi \text{ кг}$.

Для получения численного ответа, используем приближённое значение $\pi \approx 3,14$:$m_{кг} \approx 2,55 \cdot 3,14 = 8,007 \text{ кг}$.Округлив результат до сотых, получаем 8,01 кг.

Ответ: необходимо взять $2,55\pi$ кг краски, что составляет приблизительно 8,01 кг.