Страница 98 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

346. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Для нахождения образующей конуса воспользуемся тем фактом, что высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота и радиус являются катетами, а образующая — гипотенузой.

По условию задачи нам даны следующие значения:
Высота $h = 15$ см.
Радиус основания $r = 8$ см.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к нашей задаче формула выглядит так:
$l^2 = h^2 + r^2$

Подставим известные значения в формулу:
$l^2 = 15^2 + 8^2$

Теперь выполним вычисления:
$l^2 = 225 + 64$
$l^2 = 289$

Чтобы найти длину образующей $l$, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$l = \sqrt{289}$
$l = 17$ см.

Ответ: 17 см.

347. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите площадь основания конуса, если:

а) α = 30°;

б) α = 45°;

в) α = 60°.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса ($H$), радиусом его основания ($R$) и образующей ($l$).

В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а радиус $R$ — катетом. Угол $\alpha$ между образующей и плоскостью основания является углом между гипотенузой $l$ и катетом $R$. По условию, $l = 12$ см.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике, мы можем найти радиус основания $R$: $R = l \cdot \cos(\alpha)$

Площадь основания конуса, которое представляет собой круг, вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$

Подставив выражение для радиуса в формулу площади, получим: $S_{осн} = \pi (l \cdot \cos(\alpha))^2 = \pi l^2 \cos^2(\alpha)$

Теперь решим задачу для каждого из заданных значений угла $\alpha$.

а)

При $\alpha = 30^\circ$, значение $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем радиус основания: $R = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Теперь вычислим площадь основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi (6\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (36 \cdot 3) = 108\pi$ см?.

Ответ: $108\pi$ см?.

б)

При $\alpha = 45^\circ$, значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем радиус основания: $R = 12 \cdot \cos(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см. Теперь вычислим площадь основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi (6\sqrt{2})^2 = \pi \cdot (36 \cdot 2) = 72\pi$ см?.

Ответ: $72\pi$ см?.

в)

При $\alpha = 60^\circ$, значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Найдем радиус основания: $R = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. Теперь вычислим площадь основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ см?.

Ответ: $36\pi$ см?.

348. Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $S_1$ — площадь его основания. По условию задачи $H = 8$ дм.

Сечение, параллельное основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Пусть $h$ — высота этого меньшего конуса (это и есть искомое расстояние от вершины), а $S_2$ — площадь его основания (то есть площадь сечения).

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия $k$ равен отношению высот конусов:

$k = \frac{h}{H}$

Следовательно, отношение площади сечения к площади основания можно выразить так:

$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\frac{h}{H})^2$

Из этого соотношения мы можем найти высоту $h$.

а) чтобы площадь сечения была равна половине площади основания

По условию этого пункта, $S_2 = \frac{1}{2}S_1$. Значит, отношение площадей равно $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в выведенную формулу:

$(\frac{h}{H})^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{h}{H} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем искомое расстояние $h$, подставив значение высоты $H = 8$ дм:

$h = H \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ дм.

Ответ: $4\sqrt{2}$ дм.

б) чтобы площадь сечения была равна четверти площади основания

По условию этого пункта, $S_2 = \frac{1}{4}S_1$. Значит, отношение площадей равно $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в формулу:

$(\frac{h}{H})^2 = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{h}{H} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем искомое расстояние $h$, подставив значение высоты $H = 8$ дм:

$h = H \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ дм.

Ответ: 4 дм.

349. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими и диаметром основания. Пусть $l$ — длина образующей, $r$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.

Согласно условию, осевое сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку этот треугольник равнобедренный (две его стороны — это образующие конуса), прямой угол ($90^\circ$) может быть только при вершине конуса, то есть между двумя образующими. Таким образом, образующие $l$ являются катетами этого треугольника, а диаметр основания $d$ — его гипотенузой.

Высота конуса $h$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Гипотенуза треугольника — это диаметр основания конуса $d$.

$d = 2r$

По условию, радиус $r = 5$ см, следовательно, диаметр $d = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Высота конуса $h$ равна половине диаметра:

$h = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Заметим, что высота конуса оказалась равна его радиусу: $h = r$.

Площадь треугольника (осевого сечения) вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

В нашем случае основание — это диаметр $d$, а высота — $h$.

$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$

Ответ: 25 см².

350. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2r. Найдите площадь сечения, проведённого через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

По условию, осевое сечение конуса — это правильный (равносторонний) треугольник, стороны которого равны $2r$. Сторонами этого треугольника являются две образующие конуса и диаметр его основания.

Это означает, что длина образующей конуса, которую мы обозначим как $L$, равна диаметру основания $D$. Таким образом, мы имеем: $L = D = 2r$.

Сечение, которое нам нужно найти, проведено через две образующие конуса. Это сечение представляет собой треугольник. Две его стороны — это образующие, каждая длиной $L = 2r$. Угол между этими образующими в вершине конуса обозначим как $\alpha$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае $a = L = 2r$, $b = L = 2r$, а угол $\gamma = \alpha$. Подставив эти значения в формулу, получим общую формулу для площади нашего сечения: $S = \frac{1}{2} \cdot L \cdot L \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot (2r)^2 \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 4r^2 \cdot \sin\alpha = 2r^2 \sin\alpha$.

Теперь мы можем вычислить площадь для каждого из заданных углов.

а) Если угол между образующими равен $30^{\circ}$, то $\alpha = 30^{\circ}$.
Подставляем значение в формулу: $S = 2r^2 \sin30^{\circ} = 2r^2 \cdot \frac{1}{2} = r^2$.
Ответ: $r^2$.

б) Если угол между образующими равен $45^{\circ}$, то $\alpha = 45^{\circ}$.
Подставляем значение в формулу: $S = 2r^2 \sin45^{\circ} = 2r^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r^2\sqrt{2}$.
Ответ: $r^2\sqrt{2}$.

в) Если угол между образующими равен $60^{\circ}$, то $\alpha = 60^{\circ}$.
Подставляем значение в формулу: $S = 2r^2 \sin60^{\circ} = 2r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r^2\sqrt{3}$.
(В этом случае сечение является равносторонним треугольником со стороной $2r$, и его площадь также можно найти по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4r^2\sqrt{3}}{4} = r^2\sqrt{3}$, что подтверждает наш расчет).
Ответ: $r^2\sqrt{3}$.

351. Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.

Пусть дан конус с вершиной $S$, высотой $SO=h$. Секущая плоскость проходит через две взаимно перпендикулярные образующие $SA$ и $SB$. Эта плоскость образует в сечении треугольник $SAB$.

Все образующие конуса имеют одинаковую длину, поэтому $SA = SB = l$. Это значит, что треугольник $SAB$ является равнобедренным. По условию, образующие $SA$ и $SB$ взаимно перпендикулярны, следовательно, угол $\angle ASB = 90^\circ$. Таким образом, сечение представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник.

Площадь такого треугольника $S_{\triangle SAB}$ вычисляется по формуле половины произведения его катетов:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{1}{2}l^2$

Чтобы найти площадь, необходимо определить длину образующей $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, образованный высотой конуса $SO$, радиусом основания $OA$ и образующей $SA$. В этом треугольнике:

• $SO = h$ (катет) - высота конуса.
• $SA = l$ (гипотенуза) - образующая конуса.
• $\angle OSA = 60^\circ$ (по условию) - угол между высотой и образующей.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике $SOA$ имеем:$\cos(\angle OSA) = \frac{SO}{SA}$Подставим известные значения:$\cos(60^\circ) = \frac{h}{l}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:$\frac{1}{2} = \frac{h}{l}$Из этого уравнения выражаем длину образующей $l$:$l = 2h$

Теперь подставим найденное значение $l$ в формулу для площади сечения:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2}l^2 = \frac{1}{2}(2h)^2 = \frac{1}{2}(4h^2) = 2h^2$

Ответ: $2h^2$.

352. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм², а площадь основания равна 8 дм².

Пусть $h$ — высота конуса, а $r$ — радиус его основания.

Площадь основания конуса $S_{осн}$, которое является кругом, вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$. Согласно условию, $S_{осн} = 8$ дм?. Таким образом, мы имеем первое уравнение:
$ \pi r^2 = 8 $.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), а высота совпадает с высотой конуса ($h$). Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна половине произведения его основания на высоту: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$. По условию, $S_{сеч} = 6$ дм?. Следовательно, мы имеем второе уравнение:
$rh = 6$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую нужно решить. Из первого уравнения ($\pi r^2 = 8$) выразим радиус $r$:
$r^2 = \frac{8}{\pi}$
$r = \sqrt{\frac{8}{\pi}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$ дм.

Подставим найденное значение $r$ во второе уравнение ($rh = 6$), чтобы найти высоту $h$:
$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \cdot h = 6$
Выразим $h$:
$h = \frac{6 \cdot \sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}$ дм.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$h = \frac{3\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2\pi}}{2}$ дм.

Ответ: $\frac{3\sqrt{2\pi}}{2}$ дм.

353. Образующая конуса равна l, а радиус основания равен r. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°.

Сечение, проходящее через вершину конуса и хорду основания, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника равны образующей конуса $l$, а его основание — хорде $c$ в основании конуса.

Площадь этого треугольника (сечения) $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} c h_s$, где $h_s$ — высота этого треугольника, проведенная к основанию $c$.

Длину хорды $c$, стягивающей дугу с центральным углом $\alpha$, можно найти по формуле $c = 2r \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $r$ - радиус основания конуса.

Высоту $h_s$ найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{c}{2})^2}$.

Найдем площадь сечения для хорды, стягивающей дугу в $60^\circ$. В этом случае центральный угол $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдем длину хорды $c$.$c = 2r \sin(\frac{60^\circ}{2}) = 2r \sin(30^\circ) = 2r \cdot \frac{1}{2} = r$.Длина хорды равна радиусу основания.

2. Найдем высоту треугольника сечения $h_s$:$h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{c}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{r}{2})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{4}} = \sqrt{\frac{4l^2 - r^2}{4}} = \frac{\sqrt{4l^2 - r^2}}{2}$.

3. Вычислим площадь сечения $S_a$:$S_a = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{\sqrt{4l^2 - r^2}}{2} = \frac{r\sqrt{4l^2 - r^2}}{4}$.

Ответ: $S_a = \frac{r\sqrt{4l^2 - r^2}}{4}$.

Найдем площадь сечения для хорды, стягивающей дугу в $90^\circ$. В этом случае центральный угол $\alpha = 90^\circ$.

1. Найдем длину хорды $c$.$c = 2r \sin(\frac{90^\circ}{2}) = 2r \sin(45^\circ) = 2r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$.

2. Найдем высоту треугольника сечения $h_s$:$h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{c}{2})^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{r\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{2r^2}{4}} = \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{2}} = \sqrt{\frac{2l^2 - r^2}{2}}$.

3. Вычислим площадь сечения $S_b$:$S_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot r\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2l^2 - r^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot r\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2l^2 - r^2}}{\sqrt{2}} = \frac{r\sqrt{2l^2 - r^2}}{2}$.

Ответ: $S_b = \frac{r\sqrt{2l^2 - r^2}}{2}$.

354. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

Пусть дан конус с вершиной $V$, центром основания $O$ и высотой $VO = H = 10$ см. Сечение проходит через вершину $V$ и хорду $AB$ основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $VAB$. Площадь этого треугольника равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM$, где $VM$ — высота треугольника $VAB$, проведенная к основанию $AB$. $M$ является серединой хорды $AB$.

Хорда $AB$ стягивает дугу в $60^\circ$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$. Поскольку $OA$ и $OB$ — радиусы основания ($OA = OB = R$), треугольник $AOB$ является равнобедренным. С углом при вершине $60^\circ$, он также является равносторонним, то есть $AB = OA = OB = R$.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания — это двугранный угол. Его линейным представлением является угол $\angle VMO$, так как $OM \perp AB$ (как медиана в равнобедренном треугольнике $AOB$) и $VM \perp AB$ (как высота в равнобедренном треугольнике $VAB$). Обозначим этот угол как $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $VOM$ (где $\angle VOM = 90^\circ$). Из соотношений в этом треугольнике находим высоту сечения $VM$ и расстояние от центра основания до хорды $OM$:

$VM = \frac{VO}{\sin(\alpha)} = \frac{10}{\sin(\alpha)}$

$OM = \frac{VO}{\tan(\alpha)} = \frac{10}{\tan(\alpha)}$

Теперь рассмотрим треугольник $AOM$ в основании. Он прямоугольный ($\angle OMA = 90^\circ$) с $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. В этом треугольнике $OM = OA \cdot \cos(30^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда мы можем выразить радиус основания $R$ через $OM$: $R = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}}$. Так как $AB = R$, то $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}}$.

Теперь мы можем найти площадь сечения для каждого заданного угла $\alpha$.

а) Угол $\alpha = 30^\circ$

1. Находим $OM$: $OM = \frac{10}{\tan(30^\circ)} = \frac{10}{1/\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см.
2. Находим длину хорды $AB$: $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$ см.
3. Находим высоту сечения $VM$: $VM = \frac{10}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.
4. Находим площадь сечения $S_{VAB}$: $S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 = 200$ см$^2$.

Ответ: $200 \text{ см}^2$.

б) Угол $\alpha = 45^\circ$

1. Находим $OM$: $OM = \frac{10}{\tan(45^\circ)} = \frac{10}{1} = 10$ см.
2. Находим длину хорды $AB$: $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ см.
3. Находим высоту сечения $VM$: $VM = \frac{10}{\sin(45^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{2}/2} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ см.
4. Находим площадь сечения $S_{VAB}$: $S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{6}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{100\sqrt{6}}{3} \text{ см}^2$.

в) Угол $\alpha = 60^\circ$

1. Находим $OM$: $OM = \frac{10}{\tan(60^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.
2. Находим длину хорды $AB$: $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (10/\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{20}{3}$ см.
3. Находим высоту сечения $VM$: $VM = \frac{10}{\sin(60^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ см.
4. Находим площадь сечения $S_{VAB}$: $S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{200}{3\sqrt{3}} = \frac{200\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{200\sqrt{3}}{9} \text{ см}^2$.

355. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О₁ радиуса r₁, где O₁ — точка пересечения плоскости α с осью РО, a r₁ = PO₁POr (см. рис. 110).

Решение

Докажем сначала, что любая точка М₁, лежащая в плоскости α на окружности радиуса r₁ с центром О₁, лежит на некоторой образующей конуса, т. е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ₁ с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников РО₁М₁ и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) находим: OM = POPO₁ ∙ O₁M₁ = POPO₁r₁ = r т. е. точка М лежит на окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка М₁, является образующей конуса.

Докажем теперь, что любая точка M₁, лежащая как в плоскости α, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса r₁ с центром О₁. Действительно, из подобия треугольни ков РО₁М₁ и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку M₁) имеем O₁M₁ = PO₁PO ∙ OM = PO₁POr = r₁ Таким образом, окружность радиуса r₁ с центром O₁ является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.

Для доказательства утверждения разобьем его на две части. Сначала докажем, что граница сечения является окружностью с указанными параметрами, а затем покажем, что и все внутренние точки сечения образуют круг.

Доказательство того, что граница сечения является окружностью.

Пусть $M_1$ — произвольная точка, принадлежащая границе сечения. Это означает, что точка $M_1$ одновременно лежит и на боковой поверхности конуса, и в секущей плоскости $\alpha$.

Поскольку $M_1$ лежит на боковой поверхности конуса, она принадлежит некоторой образующей $PM$, где точка $M$ лежит на окружности основания конуса. Расстояние от центра основания $O$ до точки $M$ равно радиусу основания $r$, то есть $OM = r$.

Рассмотрим два треугольника: $\Delta PO_1M_1$ и $\Delta POM$.

• Поскольку ось конуса $PO$ перпендикулярна плоскости основания, то угол $\angle POM$ является прямым.
• По условию, секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна оси $PO$, а отрезок $O_1M_1$ лежит в этой плоскости. Следовательно, угол $\angle PO_1M_1$ также является прямым.
• Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\Delta PO_1M_1$ и $\Delta POM$ подобны по двум углам (общему острому и прямому).

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон: $$ \frac{O_1M_1}{OM} = \frac{PO_1}{PO} $$ Обозначим искомый радиус сечения как $r_1$, то есть $O_1M_1 = r_1$. Подставив известные величины ($OM = r$), получим: $$ \frac{r_1}{r} = \frac{PO_1}{PO} $$ Выразим отсюда $r_1$: $$ r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r $$ Поскольку величины $PO$, $PO_1$ и $r$ являются постоянными для данного сечения, то и $r_1$ является постоянной величиной. Это означает, что любая точка $M_1$ на границе сечения находится на постоянном расстоянии $r_1$ от точки $O_1$.

Следовательно, граница сечения конуса плоскостью $\alpha$ есть окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r$.

Доказательство того, что сечение является кругом.

Мы доказали, что границей сечения является окружность. Сечение конуса — это часть секущей плоскости $\alpha$, ограниченная этой окружностью. Такая фигура по определению является кругом.

Для полноты доказательства можно также показать, что любая точка $M_1$, лежащая на окружности с центром $O_1$ и радиусом $r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r$ в плоскости $\alpha$, принадлежит боковой поверхности конуса.

Проведем луч $PM_1$ и найдем его точку пересечения $M$ с плоскостью основания. Из подобия тех же треугольников $\Delta PO_1M_1$ и $\Delta POM$ имеем: $$ \frac{OM}{O_1M_1} = \frac{PO}{PO_1} $$ Отсюда $$ OM = O_1M_1 \cdot \frac{PO}{PO_1} $$ Подставив $O_1M_1 = r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r$, получим: $$ OM = \left(\frac{PO_1}{PO} \cdot r\right) \cdot \frac{PO}{PO_1} = r $$ Это означает, что точка $M$ лежит на окружности основания конуса, а значит, отрезок $PM$ является образующей конуса. Так как точка $M_1$ лежит на этом отрезке, она принадлежит боковой поверхности конуса.

Таким образом, множество точек сечения полностью совпадает с множеством точек круга в плоскости $\alpha$ с центром в $O_1$ и радиусом $r_1$.

Ответ: Утверждение доказано. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, действительно является кругом. Центр этого круга $O_1$ совпадает с точкой пересечения секущей плоскости и оси конуса, а радиус сечения $r_1$ связан с радиусом основания $r$ соотношением $r_1 = \frac{PO_1}{PO}r$.