Номер 348, страница 98 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

348. Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $S_1$ — площадь его основания. По условию задачи $H = 8$ дм.

Сечение, параллельное основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Пусть $h$ — высота этого меньшего конуса (это и есть искомое расстояние от вершины), а $S_2$ — площадь его основания (то есть площадь сечения).

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия $k$ равен отношению высот конусов:

$k = \frac{h}{H}$

Следовательно, отношение площади сечения к площади основания можно выразить так:

$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\frac{h}{H})^2$

Из этого соотношения мы можем найти высоту $h$.

а) чтобы площадь сечения была равна половине площади основания

По условию этого пункта, $S_2 = \frac{1}{2}S_1$. Значит, отношение площадей равно $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в выведенную формулу:

$(\frac{h}{H})^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{h}{H} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем искомое расстояние $h$, подставив значение высоты $H = 8$ дм:

$h = H \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ дм.

Ответ: $4\sqrt{2}$ дм.

б) чтобы площадь сечения была равна четверти площади основания

По условию этого пункта, $S_2 = \frac{1}{4}S_1$. Значит, отношение площадей равно $\frac{S_2}{S_1} = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в формулу:

$(\frac{h}{H})^2 = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{h}{H} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем искомое расстояние $h$, подставив значение высоты $H = 8$ дм:

$h = H \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ дм.

Ответ: 4 дм.