Номер 354, страница 98 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

354. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

Пусть дан конус с вершиной $V$, центром основания $O$ и высотой $VO = H = 10$ см. Сечение проходит через вершину $V$ и хорду $AB$ основания. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $VAB$. Площадь этого треугольника равна $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM$, где $VM$ — высота треугольника $VAB$, проведенная к основанию $AB$. $M$ является серединой хорды $AB$.

Хорда $AB$ стягивает дугу в $60^\circ$, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$. Поскольку $OA$ и $OB$ — радиусы основания ($OA = OB = R$), треугольник $AOB$ является равнобедренным. С углом при вершине $60^\circ$, он также является равносторонним, то есть $AB = OA = OB = R$.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания — это двугранный угол. Его линейным представлением является угол $\angle VMO$, так как $OM \perp AB$ (как медиана в равнобедренном треугольнике $AOB$) и $VM \perp AB$ (как высота в равнобедренном треугольнике $VAB$). Обозначим этот угол как $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $VOM$ (где $\angle VOM = 90^\circ$). Из соотношений в этом треугольнике находим высоту сечения $VM$ и расстояние от центра основания до хорды $OM$:

$VM = \frac{VO}{\sin(\alpha)} = \frac{10}{\sin(\alpha)}$

$OM = \frac{VO}{\tan(\alpha)} = \frac{10}{\tan(\alpha)}$

Теперь рассмотрим треугольник $AOM$ в основании. Он прямоугольный ($\angle OMA = 90^\circ$) с $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. В этом треугольнике $OM = OA \cdot \cos(30^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда мы можем выразить радиус основания $R$ через $OM$: $R = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}}$. Так как $AB = R$, то $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}}$.

Теперь мы можем найти площадь сечения для каждого заданного угла $\alpha$.

а) Угол $\alpha = 30^\circ$

1. Находим $OM$: $OM = \frac{10}{\tan(30^\circ)} = \frac{10}{1/\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см.
2. Находим длину хорды $AB$: $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$ см.
3. Находим высоту сечения $VM$: $VM = \frac{10}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.
4. Находим площадь сечения $S_{VAB}$: $S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 = 200$ см$^2$.

Ответ: $200 \text{ см}^2$.

б) Угол $\alpha = 45^\circ$

1. Находим $OM$: $OM = \frac{10}{\tan(45^\circ)} = \frac{10}{1} = 10$ см.
2. Находим длину хорды $AB$: $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ см.
3. Находим высоту сечения $VM$: $VM = \frac{10}{\sin(45^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{2}/2} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ см.
4. Находим площадь сечения $S_{VAB}$: $S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{6}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{100\sqrt{6}}{3} \text{ см}^2$.

в) Угол $\alpha = 60^\circ$

1. Находим $OM$: $OM = \frac{10}{\tan(60^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.
2. Находим длину хорды $AB$: $AB = \frac{2 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot (10/\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{20}{3}$ см.
3. Находим высоту сечения $VM$: $VM = \frac{10}{\sin(60^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}}$ см.
4. Находим площадь сечения $S_{VAB}$: $S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{200}{3\sqrt{3}} = \frac{200\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{200\sqrt{3}}{9} \text{ см}^2$.