Номер 355, страница 98 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

355. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О₁ радиуса r₁, где O₁ — точка пересечения плоскости α с осью РО, a r₁ = PO₁POr (см. рис. 110).

Решение

Докажем сначала, что любая точка М₁, лежащая в плоскости α на окружности радиуса r₁ с центром О₁, лежит на некоторой образующей конуса, т. е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ₁ с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников РО₁М₁ и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) находим: OM = POPO₁ ∙ O₁M₁ = POPO₁r₁ = r т. е. точка М лежит на окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка М₁, является образующей конуса.

Докажем теперь, что любая точка M₁, лежащая как в плоскости α, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса r₁ с центром О₁. Действительно, из подобия треугольни ков РО₁М₁ и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку M₁) имеем O₁M₁ = PO₁PO ∙ OM = PO₁POr = r₁ Таким образом, окружность радиуса r₁ с центром O₁ является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.

Для доказательства утверждения разобьем его на две части. Сначала докажем, что граница сечения является окружностью с указанными параметрами, а затем покажем, что и все внутренние точки сечения образуют круг.

Доказательство того, что граница сечения является окружностью.

Пусть $M_1$ — произвольная точка, принадлежащая границе сечения. Это означает, что точка $M_1$ одновременно лежит и на боковой поверхности конуса, и в секущей плоскости $\alpha$.

Поскольку $M_1$ лежит на боковой поверхности конуса, она принадлежит некоторой образующей $PM$, где точка $M$ лежит на окружности основания конуса. Расстояние от центра основания $O$ до точки $M$ равно радиусу основания $r$, то есть $OM = r$.

Рассмотрим два треугольника: $\Delta PO_1M_1$ и $\Delta POM$.

• Поскольку ось конуса $PO$ перпендикулярна плоскости основания, то угол $\angle POM$ является прямым.
• По условию, секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна оси $PO$, а отрезок $O_1M_1$ лежит в этой плоскости. Следовательно, угол $\angle PO_1M_1$ также является прямым.
• Угол $\angle P$ является общим для обоих треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\Delta PO_1M_1$ и $\Delta POM$ подобны по двум углам (общему острому и прямому).

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон: $$ \frac{O_1M_1}{OM} = \frac{PO_1}{PO} $$ Обозначим искомый радиус сечения как $r_1$, то есть $O_1M_1 = r_1$. Подставив известные величины ($OM = r$), получим: $$ \frac{r_1}{r} = \frac{PO_1}{PO} $$ Выразим отсюда $r_1$: $$ r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r $$ Поскольку величины $PO$, $PO_1$ и $r$ являются постоянными для данного сечения, то и $r_1$ является постоянной величиной. Это означает, что любая точка $M_1$ на границе сечения находится на постоянном расстоянии $r_1$ от точки $O_1$.

Следовательно, граница сечения конуса плоскостью $\alpha$ есть окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r$.

Доказательство того, что сечение является кругом.

Мы доказали, что границей сечения является окружность. Сечение конуса — это часть секущей плоскости $\alpha$, ограниченная этой окружностью. Такая фигура по определению является кругом.

Для полноты доказательства можно также показать, что любая точка $M_1$, лежащая на окружности с центром $O_1$ и радиусом $r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r$ в плоскости $\alpha$, принадлежит боковой поверхности конуса.

Проведем луч $PM_1$ и найдем его точку пересечения $M$ с плоскостью основания. Из подобия тех же треугольников $\Delta PO_1M_1$ и $\Delta POM$ имеем: $$ \frac{OM}{O_1M_1} = \frac{PO}{PO_1} $$ Отсюда $$ OM = O_1M_1 \cdot \frac{PO}{PO_1} $$ Подставив $O_1M_1 = r_1 = \frac{PO_1}{PO} \cdot r$, получим: $$ OM = \left(\frac{PO_1}{PO} \cdot r\right) \cdot \frac{PO}{PO_1} = r $$ Это означает, что точка $M$ лежит на окружности основания конуса, а значит, отрезок $PM$ является образующей конуса. Так как точка $M_1$ лежит на этом отрезке, она принадлежит боковой поверхности конуса.

Таким образом, множество точек сечения полностью совпадает с множеством точек круга в плоскости $\alpha$ с центром в $O_1$ и радиусом $r_1$.

Ответ: Утверждение доказано. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, действительно является кругом. Центр этого круга $O_1$ совпадает с точкой пересечения секущей плоскости и оси конуса, а радиус сечения $r_1$ связан с радиусом основания $r$ соотношением $r_1 = \frac{PO_1}{PO}r$.