номер 355 (страница 98) гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

355. Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса r с центром О. Докажите, что если секущая плоскость α перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О₁ радиуса r₁, где O₁ — точка пересечения плоскости α с осью РО, a r₁ = PO₁POr (см. рис. 110).

Решение

Докажем сначала, что любая точка М₁, лежащая в плоскости α на окружности радиуса r₁ с центром О₁, лежит на некоторой образующей конуса, т. е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ₁ с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников РО₁М₁ и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) находим: OM = POPO₁ ∙ O₁M₁ = POPO₁r₁ = r т. е. точка М лежит на окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка М₁, является образующей конуса.

Докажем теперь, что любая точка M₁, лежащая как в плоскости α, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса r₁ с центром О₁. Действительно, из подобия треугольни ков РО₁М₁ и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку M₁) имеем O₁M₁ = PO₁PO ∙ OM = PO₁POr = r₁ Таким образом, окружность радиуса r₁ с центром O₁ является сечением боковой поверхности конуса плоскостью α, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью α.