Номер 342, страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

342. Угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра равен φ, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ и длина окружности его основания $C$. По условию, диагональ этого прямоугольника равна $d$, а угол между диагоналями — $\phi$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна площади её развёртки (прямоугольника). Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$

Диагонали прямоугольника равны, поэтому $d_1 = d_2 = d$. Угол между ними равен $\phi$. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна:

$S_{бок} = \frac{1}{2} d \cdot d \cdot \sin\phi = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi$

Ответ: $S_{бок} = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований (кругов):

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания цилиндра. Чтобы найти $r$, нужно сначала найти стороны прямоугольника развёртки — высоту $h$ и длину окружности $C = 2\pi r$.

Диагонали прямоугольника, пересекаясь, делят его на четыре равнобедренных треугольника. Углы при вершинах этих треугольников (в точке пересечения диагоналей) попарно равны $\phi$ и $\pi - \phi$. Стороны прямоугольника являются основаниями этих треугольников. Найдём длины сторон $a$ и $b$ прямоугольника, используя теорему косинусов для этих треугольников, где боковыми сторонами являются половины диагоналей ($d/2$):

$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cos\phi = \frac{d^2}{2}(1 - \cos\phi)$

Применяя формулу половинного угла $1 - \cos\phi = 2\sin^2(\frac{\phi}{2})$, получаем:

$a^2 = d^2\sin^2(\frac{\phi}{2}) \implies a = d\sin(\frac{\phi}{2})$ (так как для угла $0 < \phi < \pi$ значение $\sin(\frac{\phi}{2}) > 0$).

Аналогично для второй стороны $b$, противолежащей углу $\pi - \phi$:

$b^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cos(\pi - \phi) = \frac{d^2}{2}(1 + \cos\phi)$

Применяя формулу $1 + \cos\phi = 2\cos^2(\frac{\phi}{2})$, получаем:

$b^2 = d^2\cos^2(\frac{\phi}{2}) \implies b = d\cos(\frac{\phi}{2})$ (так как для угла $0 < \phi < \pi$ значение $\cos(\frac{\phi}{2}) > 0$).

Таким образом, стороны прямоугольника развёртки равны $d\sin(\frac{\phi}{2})$ и $d\cos(\frac{\phi}{2})$. Однако в задаче не уточнено, какая из сторон является высотой $h$, а какая — длиной окружности $C$. Это приводит к двум возможным решениям для площади полной поверхности.

Случай 1: $h = d\sin(\frac{\phi}{2})$ и $C = d\cos(\frac{\phi}{2})$.

Тогда радиус основания $r_1 = \frac{C}{2\pi} = \frac{d\cos(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь двух оснований: $2S_{осн,1} = 2\pi r_1^2 = 2\pi \left( \frac{d\cos(\frac{\phi}{2})}{2\pi} \right)^2 = \frac{d^2\cos^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн,1} = S_{бок} + 2S_{осн,1} = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi + \frac{d^2\cos^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Случай 2: $h = d\cos(\frac{\phi}{2})$ и $C = d\sin(\frac{\phi}{2})$.

Тогда радиус основания $r_2 = \frac{C}{2\pi} = \frac{d\sin(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь двух оснований: $2S_{осн,2} = 2\pi r_2^2 = 2\pi \left( \frac{d\sin(\frac{\phi}{2})}{2\pi} \right)^2 = \frac{d^2\sin^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн,2} = S_{бок} + 2S_{осн,2} = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi + \frac{d^2\sin^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{d^2}{2} \left( \sin\phi + \frac{\cos^2(\frac{\phi}{2})}{\pi} \right)$ или $S_{полн} = \frac{d^2}{2} \left( \sin\phi + \frac{\sin^2(\frac{\phi}{2})}{\pi} \right)$.