Номер 335, страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

335. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $h$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус его основания. Две взаимно перпендикулярные плоскости проходят через общую образующую цилиндра. Сечения цилиндра плоскостями, содержащими его образующую, являются прямоугольниками.

Одна сторона каждого из этих прямоугольных сечений — это образующая цилиндра, её длина равна высоте $h$. Другая сторона — это хорда в основании цилиндра. Пусть первая плоскость пересекает основание цилиндра по хорде $AB$, а вторая — по хорде $AC$. Так как обе плоскости проходят через одну и ту же образующую, то хорды $AB$ и $AC$ имеют общую точку $A$ на окружности основания.

Площадь первого сечения равна $S_1 = h \cdot |AB|$, а площадь второго сечения — $S_2 = h \cdot |AC|$. По условию задачи, площади обоих сечений равны $S$, то есть $S_1 = S_2 = S$. Отсюда следует, что $h \cdot |AB| = S$ и $h \cdot |AC| = S$, а значит, длины хорд равны: $|AB| = |AC| = \frac{S}{h}$.

Поскольку плоскости сечений взаимно перпендикулярны и проходят через общую образующую, угол между хордами $AB$ и $AC$ в плоскости основания равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$, вписанный в окружность основания, является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Так как вписанный угол $\angle BAC = 90^\circ$, он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза $BC$ этого треугольника является диаметром окружности основания цилиндра. Обозначим диаметр как $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем:

$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$

$d^2 = \left(\frac{S}{h}\right)^2 + \left(\frac{S}{h}\right)^2 = 2\left(\frac{S}{h}\right)^2$

Отсюда находим диаметр:

$d = \sqrt{2\left(\frac{S}{h}\right)^2} = \frac{S}{h}\sqrt{2}$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. Площадь осевого сечения $S_{осев}$ равна:

$S_{осев} = h \cdot d$

Подставим найденное выражение для диаметра $d$:

$S_{осев} = h \cdot \left(\frac{S}{h}\sqrt{2}\right) = S\sqrt{2}$

Ответ: $S\sqrt{2}$