Номер 333, страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

333. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна h, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d.

Поскольку секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением является прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона, назовем ее $a$, является хордой, которую плоскость отсекает от окружности основания. Площадь этого сечения $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot h$.

Для нахождения площади сечения необходимо определить длину хорды $a$. Рассмотрим окружность основания цилиндра. Пусть ее центр находится в точке $O$. Хорда $AB$ (длиной $a$) стягивает дугу в $120^\circ$. Это означает, что соответствующий центральный угол $\angle AOB$ также равен $120^\circ$.

Расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно $d$. Это расстояние представляет собой длину перпендикуляра $OK$, опущенного из центра окружности $O$ на хорду $AB$. Таким образом, $OK = d$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности. Высота $OK$, проведенная к основанию $AB$, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит хорду $AB$ пополам и угол $\angle AOB$ пополам.

В результате мы получаем два равных прямоугольных треугольника, например $\triangle OKA$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $OA$ — радиус окружности.
• Катет $OK = d$.
• Катет $AK = \frac{a}{2}$.
• Угол $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OKA$ мы можем найти длину катета $AK$ через тангенс известного угла:
$\tan(\angle AOK) = \frac{AK}{OK}$
$\tan(60^\circ) = \frac{a/2}{d}$

Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, подставляем это значение в уравнение:
$\sqrt{3} = \frac{a}{2d}$
Выразим отсюда длину хорды $a$:
$a = 2d\sqrt{3}$

Теперь, зная длину хорды $a$, мы можем вычислить площадь сечения $S$:
$S = a \cdot h = (2d\sqrt{3}) \cdot h = 2hd\sqrt{3}$

Ответ: $2hd\sqrt{3}$