Номер 327, страница 92 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

327. Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого — образующие цилиндра.

Пусть дан цилиндр с осью $OO'$, радиусом основания $R$ и высотой $H$. Пусть секущая плоскость $\alpha$ параллельна оси цилиндра $OO'$ и расстояние $d$ от плоскости до оси меньше радиуса, то есть $d < R$.

1. Определим линии пересечения.
Поскольку расстояние $d$ от плоскости $\alpha$ до оси $OO'$ меньше радиуса $R$, плоскость $\alpha$ пересекает оба основания цилиндра. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью нижнего основания представляет собой хорду, обозначим ее $AB$. Аналогично, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью верхнего основания — это хорда $A'B'$.

Плоскость $\alpha$ также пересекает боковую поверхность цилиндра. Боковая поверхность цилиндра состоит из множества отрезков, называемых образующими, которые параллельны оси $OO'$ и соединяют соответствующие точки на окружностях оснований. Так как плоскость $\alpha$ параллельна оси $OO'$, линии пересечения плоскости $\alpha$ с боковой поверхностью будут параллельны оси $OO'$. Этими линиями являются отрезки, соединяющие концы хорд $AB$ и $A'B'$. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $AA'B'B$, где $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а $A'$ и $B'$ — на окружности верхнего.

2. Докажем, что стороны $AA'$ и $BB'$ являются образующими.
Отрезки $AA'$ и $BB'$ соединяют точки на окружностях нижнего и верхнего оснований. Как было показано выше, эти отрезки лежат в плоскости $\alpha$, которая параллельна оси цилиндра $OO'$. Следовательно, отрезки $AA'$ и $BB'$ параллельны оси $OO'$. Отрезки, соединяющие окружности оснований и параллельные оси цилиндра, по определению являются его образующими. Значит, две противоположные стороны сечения $AA'$ и $BB'$ — образующие цилиндра.

3. Докажем, что сечение является прямоугольником.
Рассмотрим четырехугольник $AA'B'B$.
Мы установили, что стороны $AA'$ и $BB'$ являются образующими цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны друг другу и равны по длине (их длина равна высоте цилиндра $H$).
Следовательно, $AA' \parallel BB'$ и $AA' = BB' = H$.
По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит, $AA'B'B$ — параллелограмм.

Теперь докажем, что это прямоугольник. По определению прямого кругового цилиндра, его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, образующая $AA'$ перпендикулярна плоскости нижнего основания.
Так как $AA'$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Хорда $AB$ лежит в плоскости нижнего основания и проходит через точку $A$. Следовательно, $AA' \perp AB$.
Это означает, что угол $\angle BAA'$ в параллелограмме $AA'B'B$ прямой ($\angle BAA' = 90^\circ$).

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси и находящейся на расстоянии, меньшем радиуса, представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого являются образующими цилиндра.

Ответ: Что и требовалось доказать.