Номер 332, страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

332. Высота цилиндра равна h, а площадь осевого сечения равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно d.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $2R$, где $R$ — радиус основания. Площадь этого сечения $S$ определяется по формуле $S = 2R \cdot h$. Из этой формулы мы можем выразить радиус основания цилиндра: $R = \frac{S}{2h}$.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также является прямоугольником. Одна из его сторон равна высоте цилиндра $h$, а другая — хорде $c$ в основании цилиндра. Площадь этого сечения, назовем ее $S_{сеч}$, равна $S_{сеч} = c \cdot h$.

Чтобы найти длину хорды $c$, рассмотрим основание цилиндра. Это окружность радиуса $R$. Хорда $c$ находится на расстоянии $d$ от центра окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к одному из концов хорды (гипотенуза $R$), половиной хорды (катет $\frac{c}{2}$) и перпендикуляром из центра к хорде (катет $d$). По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{c}{2})^2$.

Выразим из этого уравнения длину хорды $c$. Сначала найдем квадрат половины хорды: $(\frac{c}{2})^2 = R^2 - d^2$. Тогда половина хорды равна $\frac{c}{2} = \sqrt{R^2 - d^2}$, а вся хорда $c = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Теперь подставим в это выражение ранее найденное значение для радиуса $R = \frac{S}{2h}$:$c = 2\sqrt{(\frac{S}{2h})^2 - d^2} = 2\sqrt{\frac{S^2}{4h^2} - d^2}$.

Наконец, найдем площадь искомого сечения $S_{сеч}$, подставив выражение для $c$ в формулу $S_{сеч} = c \cdot h$:$S_{сеч} = h \cdot \left(2\sqrt{\frac{S^2}{4h^2} - d^2}\right)$.

Упростим полученное выражение, вынеся общий знаменатель из-под корня:$S_{сеч} = 2h\sqrt{\frac{S^2 - 4h^2d^2}{4h^2}} = 2h \frac{\sqrt{S^2 - 4h^2d^2}}{\sqrt{4h^2}} = 2h \frac{\sqrt{S^2 - 4h^2d^2}}{2h} = \sqrt{S^2 - 4h^2d^2}$.

Ответ: $ \sqrt{S^2 - 4h^2d^2} $