Страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

329. Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

По условию задачи дано: высота цилиндра $h = 12$ см, радиус основания $R = 10$ см.

Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси. В сечении образуется прямоугольник. Две стороны этого прямоугольника параллельны оси цилиндра и равны его высоте $h$. Две другие стороны являются хордами в основаниях цилиндра.

По условию, сечение является квадратом. Это значит, что все его стороны равны. Следовательно, длина стороны квадрата, а значит и длина хорды в основании, равна высоте цилиндра:

$s = h = 12$ см.

Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости — это расстояние от центра окружности основания до хорды, образованной сечением. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим одно из оснований цилиндра. Это окружность с центром $O$ и радиусом $R = 10$ см. В этой окружности проведена хорда, длина которой равна $s = 12$ см. Расстояние $d$ от центра $O$ до хорды является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это радиус $R$, а второй катет — это половина длины хорды.

Длина половины хорды составляет $\frac{s}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора:

$d^2 + (\frac{s}{2})^2 = R^2$

Подставим известные значения в формулу:

$d^2 + 6^2 = 10^2$

$d^2 + 36 = 100$

$d^2 = 100 - 36$

$d^2 = 64$

$d = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно 8 см.

Ответ: 8 см.

330. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удалённой на 9 дм от неё, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

Обозначим высоту цилиндра как $h$, радиус основания как $R$. Сечение, о котором идет речь в задаче, представляет собой прямоугольник, так как секущая плоскость параллельна оси цилиндра.

Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона — это хорда $a$ в круге, который является основанием цилиндра.

Площадь этого прямоугольного сечения ($S_{сеч}$) вычисляется как произведение его сторон:$S_{сеч} = a \cdot h$

Из условия задачи нам известны:

• Высота цилиндра $h = 10$ дм.
• Площадь сечения $S_{сеч} = 240$ дм?.
• Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости $d = 9$ дм.

Используя формулу площади сечения, мы можем найти длину хорды $a$:$240 = a \cdot 10$$a = \frac{240}{10} = 24$ дм.

Теперь рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром O и радиусом $R$. В этом круге проведена хорда $a = 24$ дм. Расстояние от центра круга O до этой хорды равно $d = 9$ дм.

Если мы соединим концы хорды с центром круга, мы получим равнобедренный треугольник. Проведем перпендикуляр из центра O к хорде $a$. Длина этого перпендикуляра равна $d = 9$ дм. Этот перпендикуляр также является медианой, поэтому он делит хорду $a$ на две равные части.

В результате мы получаем прямоугольный треугольник, у которого:

• гипотенуза — это радиус круга $R$;
• один катет — это расстояние от центра до хорды $d = 9$ дм;
• второй катет — это половина хорды $\frac{a}{2} = \frac{24}{2} = 12$ дм.

Применим теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника:$R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения:$R^2 = 9^2 + 12^2$$R^2 = 81 + 144$$R^2 = 225$

Теперь найдем радиус, извлекая квадратный корень:$R = \sqrt{225}$$R = 15$ дм.

Ответ: 15 дм.

331. Через образующую АА₁ цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен φ.

Обозначим высоту цилиндра через $h$, а радиус его основания — через $R$. Длина образующей $AA_1$ равна высоте цилиндра, то есть $|AA_1| = h$.

Одна из секущих плоскостей проходит через ось цилиндра и образующую $AA_1$. Сечение, образованное этой плоскостью, называется осевым. Осевое сечение представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются образующая цилиндра и его диаметр. Пусть площадь этого сечения будет $S_1$. Тогда ее значение равно:

$S_1 = h \cdot 2R$

Вторая секущая плоскость также проходит через образующую $AA_1$. Сечение, образованное этой плоскостью, также является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника — образующая $AA_1$ длиной $h$, а другая сторона — хорда основания цилиндра, которую мы обозначим как $b$. Пусть площадь этого сечения будет $S_2$. Тогда:

$S_2 = h \cdot b$

Угол между двумя плоскостями, пересекающимися по прямой $AA_1$, равен углу между линиями их пересечения с плоскостью, перпендикулярной $AA_1$. В данном случае, это плоскость основания цилиндра. Таким образом, угол $\varphi$ между секущими плоскостями равен углу между их следами в плоскости основания.

Следом первой (осевой) плоскости в основании является диаметр. Обозначим его $d = 2R$. Следом второй плоскости является хорда $b$. Угол между этим диаметром и хордой, выходящими из одной точки, равен $\varphi$.

Рассмотрим вид на основание цилиндра. У нас есть окружность радиуса $R$, диаметр и хорда, выходящие из одной точки $A$ на окружности. Пусть диаметр это $AC$, а хорда $AB$. Угол между ними $\angle CAB = \varphi$. Если соединить точки $B$ и $C$, мы получим треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC$ является вписанным и опирается на диаметр $AC$, следовательно, он прямой ($\angle ABC = 90^\circ$).

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC = 2R$. Длину хорды $b$ (катета $AB$) можно найти через косинус угла $\varphi$:

$b = |AB| = |AC| \cdot \cos(\varphi) = 2R \cos(\varphi)$

Теперь мы можем найти площадь второго сечения $S_2$:

$S_2 = h \cdot b = h \cdot 2R \cos(\varphi)$

Найдем отношение площадей сечений. Так как осевое сечение имеет наибольшую площадь, найдем отношение площади второго сечения к площади осевого:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2Rh \cos(\varphi)}{2Rh} = \cos(\varphi)$

Если бы требовалось найти отношение площади осевого сечения к площади второго сечения, оно было бы равно $\frac{1}{\cos(\varphi)}$. В задаче порядок не указан, но обычно подразумевается отношение меньшей площади к большей.

Ответ: Отношение площадей сечений равно $\cos(\varphi)$ или $\frac{1}{\cos(\varphi)}$. Если рассматривать отношение площади неосевого сечения к площади осевого, то ответ будет $\cos(\varphi)$.

332. Высота цилиндра равна h, а площадь осевого сечения равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно d.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $2R$, где $R$ — радиус основания. Площадь этого сечения $S$ определяется по формуле $S = 2R \cdot h$. Из этой формулы мы можем выразить радиус основания цилиндра: $R = \frac{S}{2h}$.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, также является прямоугольником. Одна из его сторон равна высоте цилиндра $h$, а другая — хорде $c$ в основании цилиндра. Площадь этого сечения, назовем ее $S_{сеч}$, равна $S_{сеч} = c \cdot h$.

Чтобы найти длину хорды $c$, рассмотрим основание цилиндра. Это окружность радиуса $R$. Хорда $c$ находится на расстоянии $d$ от центра окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, проведенным к одному из концов хорды (гипотенуза $R$), половиной хорды (катет $\frac{c}{2}$) и перпендикуляром из центра к хорде (катет $d$). По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{c}{2})^2$.

Выразим из этого уравнения длину хорды $c$. Сначала найдем квадрат половины хорды: $(\frac{c}{2})^2 = R^2 - d^2$. Тогда половина хорды равна $\frac{c}{2} = \sqrt{R^2 - d^2}$, а вся хорда $c = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Теперь подставим в это выражение ранее найденное значение для радиуса $R = \frac{S}{2h}$:$c = 2\sqrt{(\frac{S}{2h})^2 - d^2} = 2\sqrt{\frac{S^2}{4h^2} - d^2}$.

Наконец, найдем площадь искомого сечения $S_{сеч}$, подставив выражение для $c$ в формулу $S_{сеч} = c \cdot h$:$S_{сеч} = h \cdot \left(2\sqrt{\frac{S^2}{4h^2} - d^2}\right)$.

Упростим полученное выражение, вынеся общий знаменатель из-под корня:$S_{сеч} = 2h\sqrt{\frac{S^2 - 4h^2d^2}{4h^2}} = 2h \frac{\sqrt{S^2 - 4h^2d^2}}{\sqrt{4h^2}} = 2h \frac{\sqrt{S^2 - 4h^2d^2}}{2h} = \sqrt{S^2 - 4h^2d^2}$.

Ответ: $ \sqrt{S^2 - 4h^2d^2} $

333. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна h, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d.

Поскольку секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением является прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона, назовем ее $a$, является хордой, которую плоскость отсекает от окружности основания. Площадь этого сечения $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot h$.

Для нахождения площади сечения необходимо определить длину хорды $a$. Рассмотрим окружность основания цилиндра. Пусть ее центр находится в точке $O$. Хорда $AB$ (длиной $a$) стягивает дугу в $120^\circ$. Это означает, что соответствующий центральный угол $\angle AOB$ также равен $120^\circ$.

Расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно $d$. Это расстояние представляет собой длину перпендикуляра $OK$, опущенного из центра окружности $O$ на хорду $AB$. Таким образом, $OK = d$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности. Высота $OK$, проведенная к основанию $AB$, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит хорду $AB$ пополам и угол $\angle AOB$ пополам.

В результате мы получаем два равных прямоугольных треугольника, например $\triangle OKA$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $OA$ — радиус окружности.
• Катет $OK = d$.
• Катет $AK = \frac{a}{2}$.
• Угол $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OKA$ мы можем найти длину катета $AK$ через тангенс известного угла:
$\tan(\angle AOK) = \frac{AK}{OK}$
$\tan(60^\circ) = \frac{a/2}{d}$

Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, подставляем это значение в уравнение:
$\sqrt{3} = \frac{a}{2d}$
Выразим отсюда длину хорды $a$:
$a = 2d\sqrt{3}$

Теперь, зная длину хорды $a$, мы можем вычислить площадь сечения $S$:
$S = a \cdot h = (2d\sqrt{3}) \cdot h = 2hd\sqrt{3}$

Ответ: $2hd\sqrt{3}$

334. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна 103 см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения.

Сечение, образованное плоскостью, параллельной оси цилиндра, представляет собой прямоугольник.

Одна сторона этого прямоугольника равна образующей цилиндра, а другая - хорде, которую плоскость отсекает от окружности основания.

Пусть высота (образующая) цилиндра будет $h$, а длина хорды - $a$. По условию задачи, $h = 10\sqrt{3}$ см. Площадь сечения $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$.

Для нахождения длины хорды $a$ рассмотрим основание цилиндра. Пусть $O$ — центр окружности основания. Секущая плоскость отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $60°$. Хорда, стягивающая эту дугу, обозначим как $AB$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту дугу, равен ее градусной мере, то есть $\angle AOB = 60°$.

Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности ($OA = OB = R$). Поскольку угол при вершине в равнобедренном треугольнике равен $60°$, то и углы при основании равны $(180° - 60°)/2 = 60°$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ — равносторонний, и длина хорды $a$ равна радиусу окружности: $a = AB = R$.

Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости — это расстояние от центра окружности $O$ до хорды $AB$. Обозначим это расстояние как $d$. По условию $d = 2$ см. Это расстояние равно длине высоты $OH$, проведенной из вершины $O$ к основанию $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (где $H$ — середина хорды $AB$). В этом треугольнике:

• $OH = d = 2$ см (катет)
• $AH = \frac{a}{2}$ (второй катет)
• $OA = R = a$ (гипотенуза)

В равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ высота $OH$ также является биссектрисой, поэтому $\angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OHA$ найдем длину катета $AH$:
$\tan(\angle AOH) = \frac{AH}{OH}$
$AH = OH \cdot \tan(30°) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Длина всей хорды $a$ равна:
$a = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь мы можем найти площадь сечения (прямоугольника):
$S = a \cdot h = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 10\sqrt{3} = \frac{4 \cdot 10 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{3} = \frac{40 \cdot 3}{3} = 40$ см².

Ответ: 40 см².

335. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $h$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус его основания. Две взаимно перпендикулярные плоскости проходят через общую образующую цилиндра. Сечения цилиндра плоскостями, содержащими его образующую, являются прямоугольниками.

Одна сторона каждого из этих прямоугольных сечений — это образующая цилиндра, её длина равна высоте $h$. Другая сторона — это хорда в основании цилиндра. Пусть первая плоскость пересекает основание цилиндра по хорде $AB$, а вторая — по хорде $AC$. Так как обе плоскости проходят через одну и ту же образующую, то хорды $AB$ и $AC$ имеют общую точку $A$ на окружности основания.

Площадь первого сечения равна $S_1 = h \cdot |AB|$, а площадь второго сечения — $S_2 = h \cdot |AC|$. По условию задачи, площади обоих сечений равны $S$, то есть $S_1 = S_2 = S$. Отсюда следует, что $h \cdot |AB| = S$ и $h \cdot |AC| = S$, а значит, длины хорд равны: $|AB| = |AC| = \frac{S}{h}$.

Поскольку плоскости сечений взаимно перпендикулярны и проходят через общую образующую, угол между хордами $AB$ и $AC$ в плоскости основания равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$, вписанный в окружность основания, является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Так как вписанный угол $\angle BAC = 90^\circ$, он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза $BC$ этого треугольника является диаметром окружности основания цилиндра. Обозначим диаметр как $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем:

$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$

$d^2 = \left(\frac{S}{h}\right)^2 + \left(\frac{S}{h}\right)^2 = 2\left(\frac{S}{h}\right)^2$

Отсюда находим диаметр:

$d = \sqrt{2\left(\frac{S}{h}\right)^2} = \frac{S}{h}\sqrt{2}$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$. Площадь осевого сечения $S_{осев}$ равна:

$S_{осев} = h \cdot d$

Подставим найденное выражение для диаметра $d$:

$S_{осев} = h \cdot \left(\frac{S}{h}\sqrt{2}\right) = S\sqrt{2}$

Ответ: $S\sqrt{2}$

336. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется как произведение длины окружности его основания ($C$) на высоту ($h$). Формула для вычисления площади боковой поверхности:

$S_{бок} = C \cdot h$

Также можно использовать формулу через радиус ($r$) и высоту ($h$):

$S_{бок} = 2 \pi r h$

По условию задачи, диаметр основания цилиндра $d = 1$ м.Найдем длину окружности основания $C$ по формуле $C = \pi d$:

$C = \pi \cdot 1 = \pi$ м.

Согласно условию, высота цилиндра $h$ равна длине окружности основания. Следовательно:

$h = C = \pi$ м.

Теперь подставим найденные значения $C$ и $h$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = C \cdot h = \pi \cdot \pi = \pi^2$ м?.

Ответ: $\pi^2$ м?.

337. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра, по определению, вычисляется как произведение длины окружности основания на высоту цилиндра. Формула для площади боковой поверхности ($S_{бок}$) выглядит следующим образом:
$S_{бок} = 2 \pi R H$

Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности равна $S$:
$S = 2 \pi R H$

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через ось цилиндра. Такое сечение всегда является прямоугольником. Две стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $H$, а две другие стороны равны диаметру основания цилиндра, то есть $D = 2R$.

Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) равна произведению его сторон:
$S_{сеч} = (2R) \cdot H = 2RH$

Наша задача — выразить площадь осевого сечения $S_{сеч}$ через известную площадь боковой поверхности $S$.

Мы имеем два уравнения:
1) $S = 2 \pi R H$
2) $S_{сеч} = 2RH$

Из первого уравнения можно выразить произведение $2RH$. Для этого разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\frac{S}{\pi} = \frac{2 \pi R H}{\pi}$
$\frac{S}{\pi} = 2RH$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$S_{сеч} = \frac{S}{\pi}$

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра в $\pi$ раз меньше площади его боковой поверхности.

Ответ: $\frac{S}{\pi}$

338. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?

Для решения задачи необходимо найти общую площадь поверхности цилиндрического бака и умножить ее на расход краски. Подразумевается, что бак закрытый, поэтому красить нужно оба основания (дно и крышку) и боковую поверхность.

1. Вычисление площади полной поверхности цилиндра
Сначала найдем радиус основания ($r$). Он равен половине диаметра ($d$):
$r = \frac{d}{2} = \frac{1.5 \text{ м}}{2} = 0.75 \text{ м}$
Высота цилиндра ($h$) по условию равна 3 м.
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований и боковой поверхности по формуле:
$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$
Подставляем известные значения:
$S_{полн} = 2 \cdot \pi \cdot 0.75 \cdot (0.75 + 3) = 1.5 \pi \cdot 3.75 = 5.625\pi \text{ м}^2$

2. Расчет необходимого количества краски
Расход краски составляет 200 г на 1 м?. Чтобы найти общую массу краски ($m$), нужно умножить площадь поверхности на расход:
$m = S_{полн} \times 200 \text{ г/м}^2 = 5.625\pi \text{ м}^2 \times 200 \text{ г/м}^2 = 1125\pi \text{ г}$
Для получения численного результата используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$:
$m \approx 1125 \times 3.14 = 3532.5 \text{ г}$
Переведем граммы в килограммы (в 1 кг 1000 г):
$3532.5 \text{ г} = 3.5325 \text{ кг}$

Ответ: понадобится 3532,5 г (приблизительно 3,53 кг) краски.

339. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r(r + h)$.

Согласно условию задачи, высота цилиндра на 12 см больше его радиуса. Это можно записать в виде уравнения: $h = r + 12$.

Также по условию, площадь полной поверхности равна $288\pi$ см?. Составим второе уравнение: $2 \pi r(r + h) = 288\pi$.

Для решения задачи подставим выражение для $h$ из первого соотношения во второе уравнение: $2 \pi r(r + (r + 12)) = 288\pi$.

Упростим полученное уравнение. Сначала разделим обе части на $2\pi$: $r(r + r + 12) = 144$ $r(2r + 12) = 144$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $2r^2 + 12r = 144$ $2r^2 + 12r - 144 = 0$.

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 2: $r^2 + 6r - 72 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324$. Найдем корни уравнения по формуле $r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $r = \frac{-6 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 18}{2}$.

Получаем два возможных значения для радиуса: $r_1 = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $r_2 = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Так как радиус основания не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень: $r = 6$ см.

Теперь найдем высоту цилиндра, используя соотношение $h = r + 12$: $h = 6 + 12 = 18$ см.

Ответ: радиус основания - 6 см, высота - 18 см.

340. Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности?

Для решения этой задачи необходимо вычислить общую площадь листовой жести, которая состоит из площади боковой поверхности трубы и дополнительной площади, идущей на швы.

1. Приведение единиц измерения к единой системе

Поскольку итоговый ответ требуется в квадратных метрах, все линейные размеры необходимо перевести в метры.

Длина трубы (которая является высотой цилиндра $h$): $h = 4$ м.

Диаметр трубы $d$: $d = 20$ см. Переведем сантиметры в метры: $d = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$.

2. Расчет площади боковой поверхности трубы

Труба представляет собой цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi d h$

Подставим наши значения в формулу:

$S_{бок} = \pi \times 0.2 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 0.8\pi \text{ м}^2$.

3. Расчет общей площади жести с учетом припуска на швы

По условию, на швы необходимо добавить 2,5% от площади боковой поверхности. Это означает, что общая требуемая площадь ($S_{общая}$) составит $100\% + 2.5\% = 102.5\%$ от площади боковой поверхности.

Для нахождения общей площади, умножим площадь боковой поверхности на 1.025 (что эквивалентно 102.5%).

$S_{общая} = S_{бок} \times 1.025$

$S_{общая} = 0.8\pi \text{ м}^2 \times 1.025 = 0.82\pi \text{ м}^2$.

4. Вычисление конечного числового значения

Чтобы получить практический результат, вычислим числовое значение, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$S_{общая} = 0.82 \times \pi \approx 0.82 \times 3.14159 \approx 2.5761 \text{ м}^2$.

Округлив результат до сотых, получаем:

$S_{общая} \approx 2.58 \text{ м}^2$.

Ответ: на изготовление трубы потребуется $0.82\pi$ м$^2$ листовой жести, что составляет примерно $2.58$ м$^2$.

341. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен φ, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Высота цилиндра равна длине его образующей.

Площадь основания цилиндра $S$ — это площадь круга с радиусом $r$. Следовательно, формула для площади основания:
$S = \pi r^2$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $d = 2r$ и высоте цилиндра $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют образующая (катет $h$), диаметр основания (катет $2r$) и диагональ осевого сечения (гипотенуза).

Согласно условию, угол $\phi$ — это угол между образующей (прилежащий катет $h$) и диагональю осевого сечения (гипотенуза). В данном прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($2r$) к прилежащему катету ($h$):
$\tan(\phi) = \frac{2r}{h}$

Из этого соотношения выразим высоту $h$ через радиус $r$ и угол $\phi$:
$h = \frac{2r}{\tan(\phi)} = 2r \cot(\phi)$

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, равной произведению длины окружности основания на высоту:
$S_{бок} = 2 \pi r h$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $h$ в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \pi r (2r \cot(\phi))$
$S_{бок} = 4 \pi r^2 \cot(\phi)$

Мы знаем, что площадь основания $S = \pi r^2$. Заменим в полученном выражении $\pi r^2$ на $S$:
$S_{бок} = 4 S \cot(\phi)$

Ответ: $4S \cot(\phi)$

342. Угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра равен φ, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ и длина окружности его основания $C$. По условию, диагональ этого прямоугольника равна $d$, а угол между диагоналями — $\phi$.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна площади её развёртки (прямоугольника). Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$

Диагонали прямоугольника равны, поэтому $d_1 = d_2 = d$. Угол между ними равен $\phi$. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна:

$S_{бок} = \frac{1}{2} d \cdot d \cdot \sin\phi = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi$

Ответ: $S_{бок} = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi$

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований (кругов):

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания цилиндра. Чтобы найти $r$, нужно сначала найти стороны прямоугольника развёртки — высоту $h$ и длину окружности $C = 2\pi r$.

Диагонали прямоугольника, пересекаясь, делят его на четыре равнобедренных треугольника. Углы при вершинах этих треугольников (в точке пересечения диагоналей) попарно равны $\phi$ и $\pi - \phi$. Стороны прямоугольника являются основаниями этих треугольников. Найдём длины сторон $a$ и $b$ прямоугольника, используя теорему косинусов для этих треугольников, где боковыми сторонами являются половины диагоналей ($d/2$):

$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cos\phi = \frac{d^2}{2}(1 - \cos\phi)$

Применяя формулу половинного угла $1 - \cos\phi = 2\sin^2(\frac{\phi}{2})$, получаем:

$a^2 = d^2\sin^2(\frac{\phi}{2}) \implies a = d\sin(\frac{\phi}{2})$ (так как для угла $0 < \phi < \pi$ значение $\sin(\frac{\phi}{2}) > 0$).

Аналогично для второй стороны $b$, противолежащей углу $\pi - \phi$:

$b^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cos(\pi - \phi) = \frac{d^2}{2}(1 + \cos\phi)$

Применяя формулу $1 + \cos\phi = 2\cos^2(\frac{\phi}{2})$, получаем:

$b^2 = d^2\cos^2(\frac{\phi}{2}) \implies b = d\cos(\frac{\phi}{2})$ (так как для угла $0 < \phi < \pi$ значение $\cos(\frac{\phi}{2}) > 0$).

Таким образом, стороны прямоугольника развёртки равны $d\sin(\frac{\phi}{2})$ и $d\cos(\frac{\phi}{2})$. Однако в задаче не уточнено, какая из сторон является высотой $h$, а какая — длиной окружности $C$. Это приводит к двум возможным решениям для площади полной поверхности.

Случай 1: $h = d\sin(\frac{\phi}{2})$ и $C = d\cos(\frac{\phi}{2})$.

Тогда радиус основания $r_1 = \frac{C}{2\pi} = \frac{d\cos(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь двух оснований: $2S_{осн,1} = 2\pi r_1^2 = 2\pi \left( \frac{d\cos(\frac{\phi}{2})}{2\pi} \right)^2 = \frac{d^2\cos^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн,1} = S_{бок} + 2S_{осн,1} = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi + \frac{d^2\cos^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Случай 2: $h = d\cos(\frac{\phi}{2})$ и $C = d\sin(\frac{\phi}{2})$.

Тогда радиус основания $r_2 = \frac{C}{2\pi} = \frac{d\sin(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь двух оснований: $2S_{осн,2} = 2\pi r_2^2 = 2\pi \left( \frac{d\sin(\frac{\phi}{2})}{2\pi} \right)^2 = \frac{d^2\sin^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Площадь полной поверхности: $S_{полн,2} = S_{бок} + 2S_{осн,2} = \frac{1}{2}d^2 \sin\phi + \frac{d^2\sin^2(\frac{\phi}{2})}{2\pi}$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{d^2}{2} \left( \sin\phi + \frac{\cos^2(\frac{\phi}{2})}{\pi} \right)$ или $S_{полн} = \frac{d^2}{2} \left( \sin\phi + \frac{\sin^2(\frac{\phi}{2})}{\pi} \right)$.