Номер 367, страница 99 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

367. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усечённого конуса; б) площадь осевого сечения.

а) высоту усечённого конуса;

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ и $r$, где $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. По условию задачи имеем $R = 11$ см и $r = 5$ см. Образующая конуса $l = 10$ см.

Чтобы найти высоту усечённого конуса $h$, рассмотрим его осевое сечение. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, боковыми сторонами — образующие, а высотой — высота конуса $h$.

Если в этой трапеции провести высоту из вершины меньшего основания к большему, то образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является образующая $l$, одним катетом — высота конуса $h$, а вторым катетом — разность радиусов оснований $R - r$.

Вычислим длину второго катета: $R - r = 11 - 5 = 6$ см.

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника: $l^2 = h^2 + (R - r)^2$.

Выразим отсюда высоту $h$:

$h^2 = l^2 - (R - r)^2$

Подставим известные значения:

$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

б) площадь осевого сечения.

Осевое сечение усечённого конуса — это равнобокая трапеция. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{трапеции}$

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h_{трапеции}$ — её высота.

В нашем случае основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса: $a = 2r = 2 \cdot 5 = 10$ см и $b = 2R = 2 \cdot 11 = 22$ см. Высота трапеции равна высоте конуса $h$, которую мы нашли в пункте а), то есть $h_{трапеции} = h = 8$ см.

Подставим все значения в формулу для площади:

$S_{сечения} = \frac{10 + 22}{2} \cdot 8 = \frac{32}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$ см$^2$.

Также можно использовать упрощенную формулу для площади осевого сечения усеченного конуса: $S_{сечения} = (R + r) \cdot h$.

$S_{сечения} = (11 + 5) \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$ см$^2$.

Ответ: 128 см$^2$.