Номер 378, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

378. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Пусть $O$ - центр сферы, $R$ - ее радиус, а $\alpha$ - плоскость, в которой лежит треугольник. По условию, радиус сферы $R = 5$ см. Стороны треугольника равны $a = 10$ см, $b = 10$ см и $c = 12$ см.

Искомое расстояние от центра сферы до плоскости треугольника - это длина перпендикуляра $d$, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$. Пусть $O'$ - основание этого перпендикуляра.

Так как все стороны треугольника касаются сферы, то проекция центра сферы на плоскость треугольника (точка $O'$) является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Радиус этой вписанной окружности, обозначим его $r$, связан с радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$ Отсюда мы можем выразить искомое расстояние: $d = \sqrt{R^2 - r^2}$

Чтобы найти $d$, нам необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$.

1. Вычисление радиуса вписанной окружности ($r$).

Радиус окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

а) Найдем полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

б) Найдем площадь треугольника $S$:
Данный треугольник является равнобедренным. Проведем высоту $h$ к его основанию ($c=12$ см). Эта высота разделит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой 10 см и одним из катетов, равным половине основания, то есть $\frac{12}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

в) Вычислим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

2. Вычисление расстояния от центра сферы до плоскости треугольника ($d$).

Теперь, зная радиус сферы $R = 5$ см и радиус вписанной окружности $r = 3$ см, мы можем найти искомое расстояние $d$: $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.