Номер 385, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

385. Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом φ к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Сфера, являющаяся границей этого шара, также имеет радиус $R$. Пусть $A$ — точка на сфере, через которую проведены две плоскости: касательная плоскость $\alpha$ и секущая плоскость $\beta$. Угол между этими плоскостями равен $\phi$.

Секущая плоскость $\beta$ пересекает шар, образуя в сечении круг. Нам необходимо найти площадь $S$ этого круга. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга сечения.

Для нахождения радиуса $r$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$. В этом треугольнике:

• $O$ — центр шара.
• $A$ — точка на сфере, лежащая в плоскости сечения.
• $C$ — центр круга сечения. Отрезок $OC$ перпендикулярен плоскости сечения $\beta$, поэтому $\angle OCA = 90^{\circ}$.

Гипотенуза этого треугольника $OA$ равна радиусу шара $R$. Катет $AC$ равен радиусу сечения $r$. Катет $OC$ — это расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике имеем:

$r = AC = OA \cdot \cos(\angle OAC)$.

Теперь найдем угол $\angle OAC$.

Радиус $OA$, проведенный в точку касания $A$, перпендикулярен касательной плоскости $\alpha$.

Угол между плоскостью $\beta$ и прямой $OA$ (то есть $\angle OAC$) является дополнением до $90^{\circ}$ угла между нормалью к плоскости $\beta$ и прямой $OA$.

Угол между двумя плоскостями ($\alpha$ и $\beta$) по определению равен углу между их нормалями. Нормалью к касательной плоскости $\alpha$ является прямая $OA$. Следовательно, угол между прямой $OA$ и нормалью к плоскости $\beta$ равен $\phi$.

Таким образом, угол между прямой $OA$ и самой плоскостью $\beta$ составляет:

$\angle OAC = 90^{\circ} - \phi = \frac{\pi}{2} - \phi$.

Подставим это значение в формулу для радиуса сечения $r$:

$r = R \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \phi) = R \sin \phi$.

Теперь мы можем найти площадь сечения:

$S = \pi r^2 = \pi (R \sin \phi)^2 = \pi R^2 \sin^2 \phi$.

Ответ: Площадь сечения данного шара равна $\pi R^2 \sin^2 \phi$.