Номер 380, страница 110 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

380. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - ее радиус. По условию, $R = 10$ см. Пусть искомое расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $h$. Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость ромба. Обозначим основание этого перпендикуляра (его проекцию на плоскость ромба) как $O'$.

Поскольку все стороны ромба касаются сферы, то расстояния от точки $O'$ до всех сторон ромба одинаковы. Это означает, что точка $O'$ является центром окружности, вписанной в ромб, а расстояние от $O'$ до любой стороны ромба является радиусом этой вписанной окружности. Обозначим этот радиус как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются искомое расстояние $h$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$, а гипотенузой — радиус сферы $R$, проведенный в точку касания. По теореме Пифагора, эти величины связаны соотношением:

$R^2 = h^2 + r^2$

Чтобы найти $h$, нам нужно сначала вычислить радиус $r$ вписанной в ромб окружности.

Найдем характеристики ромба. Нам даны его диагонали: $d_1 = 15$ см и $d_2 = 20$ см.

1. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2} = 7.5$ см и $\frac{d_2}{2} = 10$ см), а гипотенуза является стороной ромба $a$. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{7.5^2 + 10^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$. Площадь ромба $S$ можно найти двумя способами. Через диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

Через сторону и радиус вписанной окружности. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, $h_{ромба} = 2r$. Площадь также равна $S = a \cdot h_{ромба} = a \cdot 2r$. Отсюда выразим $r$:

$r = \frac{S}{2a} = \frac{150}{2 \cdot 12.5} = \frac{150}{25} = 6$ см.

3. Найдем искомое расстояние $h$. Теперь, зная радиус сферы $R = 10$ см и радиус вписанной в ромб окружности $r = 6$ см, мы можем найти расстояние $h$ от центра сферы до плоскости ромба:

$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.