Страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

408. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

Пусть дан конус с вершиной $S$ и центром основания $O$. Радиус основания $R$ равен 4 см. Сечение проходит через вершину конуса $S$ и хорду $AB$ в основании. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$, так как его боковые стороны $SA$ и $SB$ являются образующими конуса и, следовательно, равны.

Площадь этого сечения (треугольника $SAB$) можно найти по формуле: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK$, где $AB$ — основание треугольника (хорда), а $SK$ — его высота, проведенная из вершины $S$.

Сначала найдем длину хорды $AB$. Хорда стягивает дугу в $120^\circ$, это значит, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, $\angle AOB = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $AOB$ в основании конуса. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R = 4$ см. Проведем высоту $OK$ из вершины $O$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $K$ — середина хорды $AB$, а угол $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOK$ катет $AK$ равен: $AK = OA \cdot \sin(\angle AOK) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. Поскольку $K$ — середина $AB$, то длина всей хорды равна: $AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем высоту сечения $SK$. По условию, плоскость сечения $(SAB)$ составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного данными плоскостями. Так как высота сечения $SK$ перпендикулярна линии их пересечения (хорде $AB$), и отрезок $OK$ также перпендикулярен $AB$, то линейным углом будет $\angle SKO$. Таким образом, $\angle SKO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $SOK$. Высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, $SO \perp OK$. Следовательно, треугольник $SOK$ является прямоугольным. Найдем длину катета $OK$ из прямоугольного треугольника $AOK$: $OK = OA \cdot \cos(\angle AOK) = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

В прямоугольном треугольнике $SOK$ известен катет $OK = 2$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SKO = 45^\circ$. Найдем гипотенузу $SK$, которая является высотой сечения: $\cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK}$ $SK = \frac{OK}{\cos(\angle SKO)} = \frac{2}{\cos(45^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Наконец, зная основание $AB$ и высоту $SK$ треугольника $SAB$, можем вычислить его площадь: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{6}$ см$^2$.

409. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270°.

Пусть $l$ — длина образующей конуса, $r$ — радиус его основания, а $H$ — высота. Угол, который необходимо найти, — это угол $\alpha$ между образующей $l$ и высотой $H$. Эти три элемента образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $l$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $r$ — катетами. Угол $\alpha$ является острым углом этого треугольника, лежащим между катетом $H$ и гипотенузой $l$.

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен длине образующей конуса $l$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Согласно условию, центральный угол сектора равен $\theta = 270°$. Длина дуги сектора с радиусом $l$ и углом $\theta$ находится по формуле: $L_{дуги} = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi l$

Подставим в формулу данное значение угла $\theta$: $L_{дуги} = \frac{270°}{360°} \cdot 2\pi l = \frac{3}{4} \cdot 2\pi l = \frac{3}{2}\pi l$

Так как длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, мы можем приравнять эти два выражения: $2\pi r = \frac{3}{2}\pi l$

Из этого равенства выразим радиус основания $r$ через образующую $l$: $r = \frac{\frac{3}{2}\pi l}{2\pi} = \frac{3}{4}l$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику, образованному высотой, радиусом и образующей. Синус угла $\alpha$ (угла между высотой и образующей) равен отношению противолежащего катета $r$ к гипотенузе $l$: $\sin(\alpha) = \frac{r}{l}$

Подставим в это соотношение найденное выражение для $r$: $\sin(\alpha) = \frac{\frac{3}{4}l}{l} = \frac{3}{4}$

Таким образом, искомый угол $\alpha$ равен арксинусу от $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\arcsin(\frac{3}{4})$.

410. Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.

При вращении прямоугольного треугольника с катетами a и b вокруг гипотенузы образуется тело вращения, которое состоит из двух конусов, соединенных по общему основанию.

Образующими этих конусов являются катеты исходного треугольника, то есть их длины равны a и b. Радиус r общего основания этих конусов равен высоте h, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Площадь поверхности полученного тела — это сумма площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь основания не учитывается, так как она находится внутри тела.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где r — радиус основания, а l — длина образующей.

Таким образом, общая площадь поверхности тела $S$ равна:

$S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r a + \pi r b = \pi r (a + b)$

Теперь необходимо найти радиус r, равный высоте h. Сначала найдем длину гипотенузы c по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Как половина произведения катетов: $A = \frac{1}{2}ab$.

2. Как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $A = \frac{1}{2}ch$.

Приравняв эти два выражения, получим:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$

$ab = ch$

Отсюда выразим высоту h (которая равна радиусу r):

$r = h = \frac{ab}{c} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Наконец, подставим полученное выражение для радиуса r в формулу для площади поверхности тела вращения:

$S = \pi r (a + b) = \pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cdot (a+b)$

Ответ: $S = \frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$

411. Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см, а острый угол 60°, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела.

Пусть дана равнобедренная трапеция `ABCD`, где `AD` – большее основание, а `BC` – меньшее. По условию, большее основание `a = AD = 10` см, меньшее основание `b = BC = 6` см, а острый угол при большем основании `?A = ?D = 60°`.

Тело, полученное при вращении трапеции вокруг большего основания `AD`, состоит из центрального цилиндра и двух одинаковых конусов по бокам. Его полная поверхность состоит из суммы боковой поверхности цилиндра и боковых поверхностей двух конусов.

Сначала найдем недостающие размеры трапеции: высоту `h` и длину боковой стороны `l`. Для этого опустим высоты `BH` и `CK` из вершин `B` и `C` на основание `AD`. В результате образуется прямоугольник `BCKH` и два равных прямоугольных треугольника `ABH` и `DCK`. Длина отрезка `HK` равна меньшему основанию `BC`, то есть `HK = 6` см. Длины отрезков `AH` и `KD` равны и вычисляются как полуразность оснований:`AH = KD = (AD - BC) / 2 = (10 - 6) / 2 = 2` см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `DCK`. В нем катет `KD = 2` см и прилежащий острый угол `?D = 60°`. Высота трапеции `h` равна катету `CK`, а боковая сторона `l` равна гипотенузе `CD`.Найдем высоту `h`:`h = CK = KD ? \tan(60°) = 2 ? \sqrt{3} = 2\sqrt{3}` см.Найдем боковую сторону `l`:`l = CD = KD / \cos(60°) = 2 / (1/2) = 4` см.

Теперь определим параметры фигур, образующих тело вращения.Радиус оснований цилиндра и конусов `r` равен высоте трапеции: `r = h = 2\sqrt{3}` см.Высота цилиндра `H_{цил}` равна меньшему основанию трапеции: `H_{цил} = BC = 6` см.Образующая конуса `L` равна боковой стороне трапеции: `L = l = 4` см.

Площадь поверхности тела вращения `S` является суммой площади боковой поверхности цилиндра `S_{цил}` и площадей боковых поверхностей двух конусов `2 ? S_{кон}`.`S = S_{цил} + 2 ? S_{кон}`

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле `S_{цил} = 2?rH_{цил}`:`S_{цил} = 2? ? (2\sqrt{3}) ? 6 = 24?\sqrt{3}` см?.

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле `S_{кон} = ?rL`:`S_{кон} = ? ? (2\sqrt{3}) ? 4 = 8?\sqrt{3}` см?.

Таким образом, общая площадь поверхности тела равна:`S = 24?\sqrt{3} + 2 ? (8?\sqrt{3}) = 24?\sqrt{3} + 16?\sqrt{3} = 40?\sqrt{3}` см?.

Ответ: $40?\sqrt{3}$ см?.

412. Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

Дано: высота конуса $H = 4$ см, радиус основания конуса $R = 3$ см. В конус вписана правильная $n$-угольная пирамида. Это означает, что вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды — это правильный $n$-угольник, вписанный в окружность основания конуса. Следовательно, высота пирамиды равна высоте конуса ($H_{пир} = H = 4$ см), а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен радиусу основания конуса ($R_{опис} = R = 3$ см).

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a$,

где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Апофему $h_a$ найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{впис}$, а гипотенузой — сама апофема:

$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2}$

Рассмотрим каждый случай.

а) n = 3

В основании лежит правильный (равносторонний) треугольник.

1. Найдем параметры основания. Радиус описанной окружности $R = 3$ см.
Сторона правильного треугольника $a_3$ связана с радиусом описанной окружности $R$ соотношением $a_3 = R\sqrt{3}$.
$a_3 = 3\sqrt{3}$ см.
Радиус вписанной окружности $r_{впис}$ для правильного треугольника равен $r_{впис} = \frac{R}{2}$.
$r_{впис} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

2. Вычислим площадь основания.
$S_{осн} = \frac{a_3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$ см².

3. Вычислим апофему пирамиды.
$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2} = \sqrt{4^2 + (1.5)^2} = \sqrt{16 + 2.25} = \sqrt{18.25} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Периметр основания $P = 3a_3 = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{9\sqrt{219}}{4}$ см².

5. Найдем площадь полной поверхности.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{27\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{219}}{4} = \frac{9}{4}(3\sqrt{3} + \sqrt{219})$ см².

Ответ: $\frac{9}{4}(3\sqrt{3} + \sqrt{219})$ см² или $\frac{9\sqrt{3}}{4}(3 + \sqrt{73})$ см².

б) n = 4

В основании лежит правильный четырехугольник (квадрат).

1. Найдем параметры основания. Радиус описанной окружности $R = 3$ см.
Сторона квадрата $a_4$ связана с радиусом описанной окружности (половиной диагонали) соотношением $a_4 = R\sqrt{2}$.
$a_4 = 3\sqrt{2}$ см.
Радиус вписанной окружности $r_{впис}$ для квадрата равен половине его стороны: $r_{впис} = \frac{a_4}{2}$.
$r_{впис} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

2. Вычислим площадь основания.
$S_{осн} = a_4^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$ см².

3. Вычислим апофему пирамиды.
$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{18}{4}} = \sqrt{16 + 4.5} = \sqrt{20.5} = \sqrt{\frac{41}{2}}$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Периметр основания $P = 4a_4 = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{41}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{41}$ см².

5. Найдем площадь полной поверхности.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 18 + 6\sqrt{41} = 6(3 + \sqrt{41})$ см².

Ответ: $6(3 + \sqrt{41})$ см².

в) n = 6

В основании лежит правильный шестиугольник.

1. Найдем параметры основания. Радиус описанной окружности $R = 3$ см.
Сторона правильного шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной окружности: $a_6 = R = 3$ см.
Радиус вписанной окружности $r_{впис}$ для правильного шестиугольника находится по формуле $r_{впис} = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$.
$r_{впис} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

2. Вычислим площадь основания. Площадь правильного шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $a_6$.
$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a_6^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{54\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$ см².

3. Вычислим апофему пирамиды.
$h_a = \sqrt{H^2 + r_{впис}^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{64+27}{4}} = \sqrt{\frac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Периметр основания $P = 6a_6 = 6 \cdot 3 = 18$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = 9\sqrt{91}$ см².

5. Найдем площадь полной поверхности.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{27\sqrt{3}}{2} + 9\sqrt{91}$ см².

Ответ: $(\frac{27\sqrt{3}}{2} + 9\sqrt{91})$ см².

413. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь равна 36 дм². Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса.

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. Пусть ее основания (диаметры оснований конуса) равны $D_1$ и $D_2$, а высота равна $h$. По условию задачи, диагонали этой трапеции перпендикулярны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{D_1+D_2}{2} \cdot h$.

Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями ее высота равна полусумме оснований: $h = \frac{D_1+D_2}{2}$.

Подставим выражение для высоты в формулу площади, чтобы связать площадь с основаниями:

$S = \frac{D_1+D_2}{2} \cdot \frac{D_1+D_2}{2} = \left(\frac{D_1+D_2}{2}\right)^2$

По условию, площадь осевого сечения $S = 36 \text{ дм}^2$. Следовательно:

$36 = \left(\frac{D_1+D_2}{2}\right)^2$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\frac{D_1+D_2}{2} = \sqrt{36} = 6 \text{ дм}$

Отсюда мы можем найти высоту усеченного конуса, так как она равна полусумме оснований трапеции:

$h = 6 \text{ дм}$.

Также находим сумму диаметров оснований конуса:

$D_1+D_2 = 2 \cdot 6 = 12 \text{ дм}$.

В условии дано, что одно из оснований осевого сечения равно $40 \text{ см}$. Переведем эту величину в дециметры, чтобы все единицы были согласованы:

$40 \text{ см} = 4 \text{ дм}$.

Поскольку $4 < 12$, это одно из двух оснований. Примем его за диаметр меньшего основания: $D_2 = 4 \text{ дм}$. Тогда диаметр большего основания равен:

$D_1 = 12 - D_2 = 12 - 4 = 8 \text{ дм}$.

Теперь найдем радиусы оснований усеченного конуса:

Радиус большего основания: $R = \frac{D_1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ дм}$.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{D_2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ дм}$.

Для вычисления площадей поверхностей нам понадобится образующая усеченного конуса $l$. Ее можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $(R-r)$, а гипотенузой — сама образующая $l$.

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} = \sqrt{6^2 + (4-2)^2} = \sqrt{36 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ дм}$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площадей.

Вычисление площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Подставляем найденные значения $R$, $r$ и $l$:

$S_{бок} = \pi(4+2) \cdot 2\sqrt{10} = \pi \cdot 6 \cdot 2\sqrt{10} = 12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$.

Ответ: $12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$.

Вычисление площади полной поверхности

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух его оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

Сначала найдем площади оснований:

Площадь большего основания: $S_{осн1} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ дм}^2$.

Площадь меньшего основания: $S_{осн2} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ дм}^2$.

Теперь складываем все три площади:

$S_{полн} = 12\pi\sqrt{10} + 16\pi + 4\pi = 20\pi + 12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$.

Для более компактной записи можно вынести общий множитель $4\pi$ за скобки:

$S_{полн} = 4\pi(5 + 3\sqrt{10}) \text{ дм}^2$.

Ответ: $20\pi + 12\pi\sqrt{10} \text{ дм}^2$ или $4\pi(5 + 3\sqrt{10}) \text{ дм}^2$.

414. Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

а)

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки (центра). Таким образом, любая точка $M$ принадлежит сфере тогда и только тогда, когда расстояние от неё до центра $O$ равно радиусу $R$, то есть $OM = R$.
Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это эквивалентно тому, что векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ противоположны, т.е. $\vec{OM'} = -\vec{OM}$, и их длины равны: $|\vec{OM'}| = |\vec{OM}|$.
Возьмём произвольную точку $M$, принадлежащую сфере. По определению сферы, $OM = R$.
Рассмотрим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно центра $O$. По определению центральной симметрии, $OM' = OM$.
Поскольку $OM = R$, то и $OM' = R$. Это означает, что точка $M'$ также удалена от центра $O$ на расстояние $R$, и, следовательно, принадлежит сфере.
Так как для любой точки $M$ сферы симметричная ей относительно центра $O$ точка $M'$ также принадлежит этой сфере, то центр сферы является её центром симметрии.
Ответ: Доказано, что центр сферы является её центром симметрии.

б)

Осью симметрии фигуры называется такая прямая $l$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей относительно прямой $l$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ проходит через середину отрезка $MM'$ и перпендикулярна ему.
Пусть $l$ — произвольная прямая, проходящая через центр $O$ сферы радиуса $R$. Возьмём любую точку $M$ на сфере, т.е. $OM = R$.
Если точка $M$ лежит на прямой $l$, то при симметрии относительно $l$ она отображается на себя ($M' = M$), а значит, остаётся на сфере.
Если точка $M$ не лежит на прямой $l$, построим точку $M'$, симметричную $M$ относительно $l$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $l$. Тогда $H$ является серединой отрезка $MM'$, и $MM' \perp l$.
Рассмотрим треугольник $\triangle OMH$. Так как прямая $l$ проходит через $O$, точка $O$ лежит на $l$. Поскольку $MH \perp l$, то $MH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в $l$ и проходящей через $H$, в частности $MH \perp OH$. Следовательно, $\triangle OMH$ — прямоугольный с гипотенузой $OM$. По теореме Пифагора: $OM^2 = OH^2 + MH^2$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OM'H$. Он также прямоугольный ($M'H \perp OH$), и по определению симметрии $MH = M'H$. По теореме Пифагора: $OM'^2 = OH^2 + M'H^2$.
Сравнивая выражения для квадратов гипотенуз, получаем: $OM'^2 = OH^2 + MH^2 = OM^2$.
Так как $OM = R$, то $OM'^2 = R^2$, откуда $OM' = R$.
Это означает, что точка $M'$ также принадлежит сфере. Поскольку $M$ — произвольная точка сферы, любая прямая, проходящая через центр сферы, является её осью симметрии.
Ответ: Доказано, что любая прямая, проходящая через центр сферы, является её осью симметрии.

в)

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость $\alpha$, что для любой точки фигуры $M$ симметричная ей относительно плоскости $\alpha$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно плоскости $\alpha$, если плоскость $\alpha$ проходит через середину отрезка $MM'$ и перпендикулярна ему.
Пусть $\alpha$ — произвольная плоскость, проходящая через центр $O$ сферы радиуса $R$. Возьмём любую точку $M$ на сфере, т.е. $OM = R$.
Если точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, то она симметрична самой себе ($M' = M$) и остаётся на сфере.
Если точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$, построим точку $M'$, симметричную $M$ относительно $\alpha$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ является серединой отрезка $MM'$, и $MM' \perp \alpha$.
Рассмотрим треугольник $\triangle OMH$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через $O$, точка $O$ лежит в $\alpha$. Точка $H$ по определению лежит в $\alpha$. Следовательно, прямая $OH$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку $MH \perp \alpha$, то прямая $MH$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через $H$. В частности, $MH \perp OH$. Значит, $\triangle OMH$ — прямоугольный с гипотенузой $OM$. По теореме Пифагора: $OM^2 = OH^2 + MH^2$.
Аналогично, для треугольника $\triangle OM'H$, который также является прямоугольным, имеем $OM'^2 = OH^2 + M'H^2$.
По определению симметрии $MH = M'H$, поэтому $OM'^2 = OM^2$.
Так как $OM = R$, то $OM'^2 = R^2$, откуда $OM' = R$.
Следовательно, точка $M'$ также принадлежит сфере. Поскольку $M$ — произвольная точка сферы, любая плоскость, проходящая через центр сферы, является её плоскостью симметрии.
Ответ: Доказано, что любая плоскость, проходящая через центр сферы, является её плоскостью симметрии.

415. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере. а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см.

а)

Поскольку вершины прямоугольного треугольника лежат на сфере, то плоскость треугольника пересекает сферу по окружности, которая является описанной около этого треугольника. Центр сферы, центр этой окружности и любая из вершин треугольника образуют прямоугольный треугольник.

Пусть $a = 1,8$ см и $b = 2,4$ см — катеты данного прямоугольного треугольника. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1,8^2 + 2,4^2} = \sqrt{3,24 + 5,76} = \sqrt{9} = 3$ см.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Радиус этой окружности $r$ равен половине гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

Радиус сферы $R$, радиус описанной окружности (сечения) $r$ и расстояние $d$ от центра сферы до плоскости треугольника связаны соотношением: $R^2 = r^2 + d^2$.

По условию задачи, радиус сферы $R = 1,5$ см. Сравним его с радиусом описанной окружности $r = 1,5$ см.

Так как $R = r$, то из формулы $R^2 = r^2 + d^2$ следует:

$1,5^2 = 1,5^2 + d^2$

$d^2 = 0$, что означает $d=0$.

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно нулю, следовательно, центр сферы лежит в плоскости треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Для нахождения расстояния от центра сферы до плоскости треугольника воспользуемся той же формулой $R^2 = r^2 + d^2$.

Из пункта а) мы знаем, что радиус окружности, описанной около треугольника, равен $r = 1,5$ см. По условию данного пункта, радиус сферы $R = 6,5$ см.

Подставим известные значения в формулу и найдем искомое расстояние $d$:

$6,5^2 = 1,5^2 + d^2$

$d^2 = 6,5^2 - 1,5^2$

Для удобства вычислений применим формулу разности квадратов:

$d^2 = (6,5 - 1,5)(6,5 + 1,5) = 5 \cdot 8 = 40$

$d = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

416. Точка A лежит на радиусе данной сферы с центром O и делит этот радиус в отношении 1 : 2, считая от центра сферы. Через точку A проведена плоскость α так, что радиус сферы с центром O, касающейся плоскости α, в 6 раз меньше радиуса данной сферы. Найдите: а) угол между прямой OA и плоскостью α; б) отношение площади сечения данной сферы плоскостью α к площади самой сферы.

а) Пусть $R$ — радиус данной сферы с центром в точке $O$. Точка $A$ лежит на некотором радиусе этой сферы и делит его в отношении $1:2$, считая от центра. Это означает, что длина отрезка $OA$ составляет одну треть от длины всего радиуса. Таким образом, $OA = \frac{1}{3}R$.

Через точку $A$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Тогда расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно $OH$.

По условию, существует другая сфера с тем же центром $O$, которая касается плоскости $\alpha$. Радиус этой сферы, который мы обозначим как $r$, равен расстоянию от ее центра $O$ до касательной плоскости $\alpha$. Следовательно, $OH = r$.

Также по условию, радиус этой касающейся сферы в 6 раз меньше радиуса данной сферы: $r = \frac{R}{6}$. Значит, $OH = \frac{R}{6}$.

Угол между прямой $OA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией отрезка $OA$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HA$. Искомый угол — это угол $\angle OAH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OHA$ (где $\angle OHA = 90^\circ$).

В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $OA = \frac{R}{3}$ и катет $OH = \frac{R}{6}$, противолежащий искомому углу. Найдем синус этого угла: $ \sin(\angle OAH) = \frac{OH}{OA} = \frac{\frac{R}{6}}{\frac{R}{3}} = \frac{R}{6} \cdot \frac{3}{R} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) Площадь поверхности данной сферы ($S_{сф}$) вычисляется по формуле $S_{сф} = 4\pi R^2$.

Сечением данной сферы плоскостью $\alpha$ является круг. Чтобы найти его площадь ($S_{сеч}$), нужно определить радиус этого круга, который мы обозначим $r_{сеч}$. Радиус сечения — это длина отрезка $HA$ в нашем построении, если точка $A$ лежит на окружности сечения. Однако точка $A$ просто лежит в плоскости $\alpha$, а не обязательно на окружности сечения. Радиус сечения — это расстояние от центра сечения (точка $H$) до любой точки на линии пересечения сферы и плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHK$, где $K$ — любая точка на окружности сечения. $OK$ — это радиус данной сферы ($OK=R$), $OH$ — расстояние от центра сферы до плоскости сечения ($OH = \frac{R}{6}$), а $HK$ — это и есть радиус сечения $r_{сеч}$.

По теореме Пифагора: $ OK^2 = OH^2 + HK^2 $ $ R^2 = \left(\frac{R}{6}\right)^2 + r_{сеч}^2 $ $ r_{сеч}^2 = R^2 - \frac{R^2}{36} = \frac{36R^2 - R^2}{36} = \frac{35R^2}{36} $

Площадь сечения $S_{сеч}$ равна: $ S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 = \pi \frac{35R^2}{36} $

Теперь найдем отношение площади сечения к площади самой сферы: $ \frac{S_{сеч}}{S_{сф}} = \frac{\pi \frac{35R^2}{36}}{4\pi R^2} = \frac{35\pi R^2}{36 \cdot 4\pi R^2} = \frac{35}{144} $

Ответ: $\frac{35}{144}$.

417. Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

Пусть даны два прямоугольника, $ABCD$ и $ABEF$, которые лежат в различных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно и имеют общую сторону $AB$. Нам необходимо доказать, что все шесть вершин $A, B, C, D, E, F$ лежат на одной сфере.

Для того чтобы доказать, что несколько точек лежат на одной сфере, достаточно показать, что существует точка $O$ (центр сферы), равноудаленная от всех этих точек.

Доказательство:

Рассмотрим первый прямоугольник $ABCD$. Все вершины прямоугольника лежат на описанной около него окружности. Центром этой окружности является точка пересечения его диагоналей, назовем ее $O_1$. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех вершин $A, B, C, D$, — это прямая $l_1$, которая перпендикулярна плоскости прямоугольника $\alpha$ и проходит через центр его описанной окружности $O_1$. Таким образом, для любой точки $P$, принадлежащей прямой $l_1$, выполняется равенство $PA = PB = PC = PD$.

Аналогично, для второго прямоугольника $ABEF$ существует прямая $l_2$, которая является геометрическим местом точек, равноудаленных от его вершин $A, B, E, F$. Эта прямая перпендикулярна плоскости прямоугольника $\beta$ и проходит через центр описанной около него окружности $O_2$ (точку пересечения диагоналей $AE$ и $BF$). Для любой точки $Q$, принадлежащей прямой $l_2$, выполняется равенство $QA = QB = QE = QF$.

Центр искомой сферы $O$ должен быть равноудален от всех шести вершин. Следовательно, он должен принадлежать обеим прямым $l_1$ и $l_2$ одновременно, то есть быть их точкой пересечения. Докажем, что эти прямые пересекаются.

Рассмотрим плоскость $\gamma$, являющуюся серединным перпендикуляром к общему отрезку $AB$. Эта плоскость содержит все точки пространства, равноудаленные от $A$ и $B$.

Точка $O_1$ (центр описанной окружности $ABCD$) равноудалена от $A$ и $B$ ($O_1A = O_1B$ как половины диагоналей), поэтому $O_1$ лежит в плоскости $\gamma$. Прямая $l_1$ проходит через точку $O_1$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку отрезок $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $l_1$ перпендикулярна прямой $AB$. Прямая, проходящая через точку плоскости $\gamma$ и перпендикулярная $AB$, целиком лежит в плоскости $\gamma$. Следовательно, вся прямая $l_1$ лежит в плоскости $\gamma$.

По той же причине точка $O_2$ (центр описанной окружности $ABEF$) равноудалена от $A$ и $B$, поэтому $O_2$ лежит в плоскости $\gamma$. Прямая $l_2$ перпендикулярна плоскости $\beta$, а значит, и прямой $AB$. Таким образом, вся прямая $l_2$ также лежит в плоскости $\gamma$.

Итак, обе прямые, $l_1$ и $l_2$, лежат в одной плоскости $\gamma$. В этой плоскости они пересекутся, если не являются параллельными.Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Прямая $O_1M$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна $AB$. Прямая $O_2M$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна $AB$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, то и прямые $O_1M$ и $O_2M$ различны и не параллельны друг другу.

В плоскости $\gamma$ прямая $l_1$ перпендикулярна прямой $O_1M$ (так как $l_1 \perp \alpha$, а $O_1M \subset \alpha$). Аналогично, прямая $l_2$ перпендикулярна прямой $O_2M$. Так как прямые $O_1M$ и $O_2M$ не параллельны, то и перпендикулярные им прямые $l_1$ и $l_2$ в той же плоскости $\gamma$ не будут параллельны. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в некоторой единственной точке $O$.

Эта точка пересечения $O$ принадлежит обеим прямым.

• Поскольку $O \in l_1$, то $OA = OB = OC = OD$.
• Поскольку $O \in l_2$, то $OA = OB = OE = OF$.

Отсюда следует, что $OA = OB = OC = OD = OE = OF$.

Таким образом, существует точка $O$, равноудаленная от всех шести вершин двух прямоугольников. Это означает, что все вершины лежат на одной сфере с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.

Ответ: Утверждение доказано. Все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

418. Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра.

а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно 1,6R.

а)

Пусть даны две равные сферы с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и одинаковым радиусом $R$. Расстояние между центрами $d = O_1O_2$. По условию задачи $d < 2R$, что является условием пересечения сфер.

Рассмотрим произвольную точку $A$, которая принадлежит пересечению этих двух сфер. По определению сферы, расстояние от любой точки на сфере до ее центра равно радиусу. Следовательно, для точки $A$ выполняются два условия: $O_1A = R$ и $O_2A = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Его стороны равны $O_1A = R$, $O_2A = R$ и $O_1O_2 = d$. Так как $R+R=2R > d$, такой треугольник существует (удовлетворяет неравенству треугольника). Этот треугольник является равнобедренным.

Все точки пересечения двух сфер обладают свойством равноудаленности от центров $O_1$ и $O_2$. Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек ($O_1$ и $O_2$), есть плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки ($O_1O_2$), и проходящая через его середину.

Таким образом, все точки пересечения лежат в одной плоскости $\alpha$. Эта плоскость пересекает каждую из сфер. Пересечением сферы и плоскости является окружность (или точка, если плоскость касается сферы, или пустое множество). Так как мы уже установили, что пересечение непустое и не является одной точкой (поскольку $d < 2R$), то пересечение каждой сферы с плоскостью $\alpha$ является окружностью.

Поскольку все точки пересечения лежат как на первой, так и на второй сфере, они должны лежать на линии пересечения плоскости $\alpha$ с каждой из сфер. Эта линия пересечения и есть искомая фигура. Так как обе сферы симметричны относительно плоскости $\alpha$, их пересечение с этой плоскостью образует одну и ту же окружность.

Итак, пересечением двух сфер является окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной линии центров и проходящей через середину отрезка $O_1O_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что пересечением двух равных сфер, расстояние между центрами которых меньше диаметра, является окружность.

б)

Для нахождения радиуса $r$ этой окружности рассмотрим сечение, проходящее через центры сфер $O_1$ и $O_2$. В этом сечении мы увидим две пересекающиеся окружности радиуса $R$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения этих окружностей (и, соответственно, точка на окружности пересечения сфер). Как было показано в пункте а), треугольник $\triangle O_1AO_2$ — равнобедренный с основанием $O_1O_2=d$. Радиус $r$ искомой окружности является высотой этого треугольника, опущенной на основание $O_1O_2$.

Пусть $H$ — середина отрезка $O_1O_2$. Тогда $AH = r$ и $O_1H = \frac{d}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1HA$. По теореме Пифагора: $O_1A^2 = O_1H^2 + AH^2$

Подставим известные значения: $R^2 = (\frac{d}{2})^2 + r^2$

Отсюда выразим радиус $r$: $r = \sqrt{R^2 - (\frac{d}{2})^2}$

По условию задачи радиусы сфер равны $R$, а расстояние между их центрами $d = 1,6R$. Подставим это значение в формулу: $r = \sqrt{R^2 - (\frac{1,6R}{2})^2} = \sqrt{R^2 - (0,8R)^2}$

$r = \sqrt{R^2 - 0,64R^2} = \sqrt{0,36R^2} = 0,6R$

Ответ: $0,6R$.

419. Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причём ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 2φ, AD = BD = CD. Найдите: а) AB и AD; б) площадь сечения сферы плоскостью ABC.

Точки $A, B, C, D$ образуют тетраэдр, вписанный в сферу радиуса $R$. Из условий $AD = BD = CD$ и $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 2\phi$ следует, что треугольники $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует равенство их оснований: $AB = BC = CA$. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним, а тетраэдр $DABC$ — правильной пирамидой с вершиной $D$ и основанием $ABC$.

а) Найдем длины ребер $AB$ и $AD$.

Пусть $d = AD = BD = CD$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ADB$. По теореме косинусов найдем сторону $AB$:

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)$

$AB^2 = d^2 + d^2 - 2d^2 \cos(2\phi) = 2d^2(1 - \cos(2\phi))$

Используя формулу понижения степени $1 - \cos(2\phi) = 2\sin^2\phi$, получаем:

$AB^2 = 2d^2(2\sin^2\phi) = 4d^2\sin^2\phi$

$AB = 2d\sin\phi$

Центр $O$ описанной сферы лежит на высоте $DH$ пирамиды $DABC$, где $H$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. Обозначим высоту пирамиды $DH$ через $h$, а радиус описанной окружности основания $\triangle ABC$ через $r_{ABC}$. Для правильной пирамиды, вписанной в сферу радиуса $R$, выполняется соотношение $d^2 = 2Rh$.

Радиус $r_{ABC}$ связан со стороной основания $AB$ как $r_{ABC} = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{2d\sin\phi}{\sqrt{3}}$.

Высоту $h$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle ADH$:

$h^2 = AD^2 - AH^2 = d^2 - r_{ABC}^2 = d^2 - \left(\frac{2d\sin\phi}{\sqrt{3}}\right)^2 = d^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)$

$h = d\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Теперь подставим $h$ в соотношение $d^2 = 2Rh$:

$d^2 = 2Rd\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Поскольку $d \ne 0$, можем разделить обе части на $d$:

$d = 2R\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Это и есть искомая длина $AD$. Теперь найдем $AB$:

$AB = 2d\sin\phi = 2\left(2R\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}\right)\sin\phi = 4R\sin\phi\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}}$

Для существования такого тетраэдра необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным: $1 - \frac{4\sin^2\phi}{3} > 0$, что дает $\sin\phi < \frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $0 < \phi < 60^\circ$.

Ответ: $AD = 2R\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\phi}$; $AB = 4R\sin\phi\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\phi}$.

б) Найдем площадь сечения сферы плоскостью $ABC$.

Сечением сферы плоскостью является круг. В данном случае плоскость $ABC$ пересекает сферу по окружности, которая является описанной окружностью для треугольника $\triangle ABC$. Площадь этого круга $S$ равна $S = \pi r_{ABC}^2$, где $r_{ABC}$ — радиус этой окружности.

Из соотношений для пирамиды, вписанной в сферу, $d^2 = 2Rh$ и $d^2 = h^2 + r_{ABC}^2$, выразим $r_{ABC}^2$.

Из первого соотношения $h = \frac{d^2}{2R}$. Подставим во второе:

$d^2 = \left(\frac{d^2}{2R}\right)^2 + r_{ABC}^2$

$r_{ABC}^2 = d^2 - \frac{d^4}{4R^2} = d^2\left(1 - \frac{d^2}{4R^2}\right)$

Из пункта а) известно, что $d^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)$. Подставим это выражение:

$r_{ABC}^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\left(1 - \frac{4R^2(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3})}{4R^2}\right)$

$r_{ABC}^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\left(1 - \left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\right)$

$r_{ABC}^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\phi}{3}\right)\left(\frac{4\sin^2\phi}{3}\right) = \frac{16R^2\sin^2\phi}{3}\left(\frac{3 - 4\sin^2\phi}{3}\right)$

$r_{ABC}^2 = \frac{16R^2}{9}\sin^2\phi(3 - 4\sin^2\phi)$

Площадь сечения $S$ равна:

$S = \pi r_{ABC}^2 = \frac{16\pi R^2}{9}\sin^2\phi(3 - 4\sin^2\phi)$

Это выражение можно упростить, заметив, что $\sin\phi\sin(3\phi) = \sin\phi(3\sin\phi - 4\sin^3\phi) = 3\sin^2\phi - 4\sin^4\phi = \sin^2\phi(3-4\sin^2\phi)$.

$S = \frac{16\pi R^2}{9}\sin\phi\sin(3\phi)$

Ответ: $S = \frac{16\pi R^2}{9}\sin^2\phi(3 - 4\sin^2\phi) = \frac{16\pi R^2}{9}\sin\phi\sin(3\phi)$.